资源描述：
《高考数学基础解答题-空间向量与立体几何.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量与立体几何1．如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且BACA1B1C1．（1）求棱与BC所成的角的大小；(2)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．ks5uBACA1B1C1zxyP解法一：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，．，故与棱BC所成的角是．………………6分（2）设，则．于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为．……………8分设平面的法向量为，则,即令故……………11分而平面的法向量=(1,0,0)，则故二面角的平面角的余弦值是．………………13分18BACA1
2、B1C1解法二：(1)由题意可知，所以是与棱BC所成的角(或其补角)，连接和，∵，∴，又，且，∴，∴.在平行四边形中，由余弦定理可得，在Rt△中，由勾股定理可得.在△中，由余弦定理可得，∴，∴故棱与棱BC所成的角是．(2)作于Q，连接QA，PA，作于R，则R应在AB的延长线上，连接PR，由题意可知，，∴，∴是二面角的平面角.设，则，，18在△中，，在Rt△中，由可得，解得或(舍去)，即P是中点.在Rt△中，，，∴，∴，即二面角的平面角的余弦值是．2．如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,.(1)求证：平面；(2)若
3、四棱锥的体积为,求二面角的正切值.（1）证明:连接,设与相交于点,连接,∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴.……2分∵平面,平面,18∴平面.……4分(2)解:依题意知，，∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面，……6分设，在Rt△中，，，∴四棱锥的体积.……8分依题意得，，即.……9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:∵,平面，平面，∴平面.取的中点，连接，则,且.∴平面.作，垂足为，连接，由于，且，∴平面.∵平面,∴.∴为二面角的平面角.……12分18由
4、Rt△～Rt△,得,得,在Rt△中,.∴二面角的正切值为.……14分解法2:∵,平面，平面，∴平面.以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.则,,,.∴,设平面的法向量为,由及,得令,得.故平面的一个法向量为,……11分又平面的一个法向量为,∴,.……12分18∴,.……13分∴,.∴二面角的正切值为.……14分3．如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值．（1）证明
5、：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）解法1：∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．过点作于点，作交于点，连结，GF由于平面，平面，∴．∵，∴平面．∵平面，∴．∵，，∴平面．∵平面，18∴．∴是二面角的平面角．在△中，，，，∵，∴．在△中，，∴．故二面角的平面角的正切值为．解法2：∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．xyz以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴
6、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[来源:学§科§．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．设平面的法向量为，18则即取，则是平面的一个法向量．∵，∴．∴．故二面角的平面角的正切值为．4．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点
7、，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，18所以PA=2.解法一：因为
8、PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,又在Rt△ESO中，cos∠
