空间向量解立体几何问题(一)(基础)

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1、空间向量解立体几何问题（一）一、知识梳理(一)基本知识点：1.若=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2.设=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），那么=（x1±x2，y1±y2，z1±z2），=x1x2+y1y2+z1z2，.3.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），则，

2、M1M2

3、=.例1、(1)a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a＋6b－8c＝()(A)(14，－3，3)(B)(14，－3，35)(C)(14，－3，－12)(D)(－14，3，－3)(2)若向量a＝(2，1，－

4、2)，b＝(6，－3，2)，则cos＝______．(3)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角余弦为，则λ等于()(A)2(B)－2(C)－2或(D)2或(4)正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E为CC1中点，(1)求；4.对非零向量a与b，有a∥ba=kb；a⊥ba·b=0.例2、（1）下列各组向量中不平行的是()(A)a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)(B)c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)(D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)（2）已知向量a

5、＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝()(A)2(B)－2(C)(D)（3）已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是______．7（4）直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点。如图，建立空间直角坐标系．(1)求的坐标及BN的长；(2)求的值；(3)求证：A1B⊥C1M．5、平面ABC的法向量：例3、如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,

6、PB的中点．求平面AEF的一个法向量的坐标．（二）运用：1、空间平行问题：(1)证明：两直线平行（=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2））（2）证明：直线AB平行平面CDE(例4、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证：MN∥平面BB1D1D．7例5、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．(1)求证：AC1∥平面CDB1；(2)求异面直线AC1与B1D所成的角的大小．(3)证明：两平面平行（）例6、如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，

7、M，N分另是A1D1，D1D，BC，BB1的中点．求证：平面EFC1∥平面AMN．2、空间垂直问题：证明：两直线垂直：AB⊥CD例7、如图，已知直三棱柱中，BC=1，，M是的中点。求证：证明：直线垂直平面：PA例8、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F分别是AB，PC的中点．求证：EF⊥平面PCD．7证明：两平面垂直：（）例9、正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别是DC，CC1，BC中点．求证：平面PA1A⊥平面MND．3、空间角问题：（1）求异面直线AB与CD所成角：例10、直三棱柱ABC－A1B1C1中，

8、∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1．(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小；(2)证明：BC1⊥AB1．(2)求PA与面ABC所成角：设是面ABC的法向量，则=，7例11、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．(3)求二面角A—BC—D的大小：设和是面ABC和面BCD的法向量，=例12、正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC的中点，求二面角C－AC1－D的大小．4、空间距离问题：P点到面ABC的距离d:其中设是面ABC的法向量例13、正四棱锥S－ABCD的所有棱长均为2，

9、E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．求点C到平面EFG的距离．7二、知识训练：1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则A.x=1，y=1B.x=，y=－C.x=，y=－D.x=－，y=2、已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是A.1B.C.D.3、已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.4、已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的法向量.5、如下图，在正方体ABCD—A1B1C