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时间:2018-09-11
《空间向量解立体几何问题(一)(基础)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、空间向量解立体几何问题(一)一、知识梳理(一)基本知识点:1.若=xi+yj+zk,那么(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫点P的坐标.2.设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),那么=(x1±x2,y1±y2,z1±z2),=x1x2+y1y2+z1z2,.3.设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则,
2、M1M2
3、=.例1、(1)a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a+6b-8c=()(A)(14,-3,3)(B)(14,-3,35)(C)(14,-3,-12)(D)(-14,3,-3)(2)若向量a
4、=(2,1,-2),b=(6,-3,2),则cos=______.(3)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦为,则λ等于()(A)2(B)-2(C)-2或(D)2或(4)正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E为CC1中点,(1)求;4.对非零向量a与b,有a∥ba=kb;a⊥ba·b=0.例2、(1)下列各组向量中不平行的是()(A)a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)(B)c=(1,0,0),d=(-3,0,0)(C)e=(2,3,0),f=(0,0,0)(D)g=(-2,3,5),h=(16,
5、24,40)(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a⊥b,则x=()(A)2(B)-2(C)(D)(3)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k值是______.7(4)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点。如图,建立空间直角坐标系.(1)求的坐标及BN的长;(2)求的值;(3)求证:A1B⊥C1M.5、平面ABC的法向量:例3、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,A
6、D=PD=2.AB=4,E,F分别为CD,PB的中点.求平面AEF的一个法向量的坐标.(二)运用:1、空间平行问题:(1)证明:两直线平行(=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2))(2)证明:直线AB平行平面CDE(例4、正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点,求证:MN∥平面BB1D1D.7例5、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D是AB的中点.(1)求证:AC1∥平面CDB1;(2)求异面直线AC1与B1D所成的角的大小.(3)证明:两平面平行()例6、如图,在正四棱柱AB
7、CD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E,F,M,N分另是A1D1,D1D,BC,BB1的中点.求证:平面EFC1∥平面AMN.2、空间垂直问题:证明:两直线垂直:AB⊥CD例7、如图,已知直三棱柱中,BC=1,,M是的中点。求证:证明:直线垂直平面:PA例8、如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,E,F分别是AB,PC的中点.求证:EF⊥平面PCD.7证明:两平面垂直:()例9、正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别是DC,CC1,BC中点.求证:平面PA1A⊥平面MND.3、空间角问题:(1
8、)求异面直线AB与CD所成角:例10、直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1.(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小;(2)证明:BC1⊥AB1.(2)求PA与面ABC所成角:设是面ABC的法向量,则=,7例11、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AD,AB的中点,求BC1与平面A1EF所成角的大小.(3)求二面角A—BC—D的大小:设和是面ABC和面BCD的法向量,=例12、正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,D是BC的中点,求二面角C-AC1-D的大小.4、空间距离问题:P点到面A
9、BC的距离d:其中设是面ABC的法向量例13、正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2,E,F,G分别为棱AB,AD,SB的中点.求点C到平面EFG的距离.7二、知识训练:1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则A.x=1,y=1B.x=,y=-C.x=,y=-D.x=-,y=2、已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k值是A.1B.C.D.3、已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是_________.4、已知=(2,2,1),
10、=(4,5,3),求平面ABC的法向量.5、如下图,在正方体ABCD—A1B1C
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