§232《双曲线的简单几何性质》教学设计.doc

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1、§2.3.2《双曲线的简单性质》教学设计高二数学组宫琼【教学目标】（1）能类比椭圆的性质的研究方法，探究并知道双曲线的有关几何性质，并加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。（2）在对双曲线简单几何性质的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想。（3）感受数形结合的基本思想在解析几何中的应用。【教学重、难点】利用双曲线的标准方程研究相关性质【教学设计】一、复习导入：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：在椭圆部分，我们曾经从图形和方程两个角度来研究椭圆的性质。那么，你认为应该研究双曲线的哪些性质呢？生：范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单性质

2、，我们先来研究焦点在x轴上的双曲线的简单性质。二、讲授新课：1．双曲线的简单性质（1）范围：从图形看,的取值范围是什么？师：从标准方程能否得出这个结论呢？6的范围呢？（2）对称性：从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的类比椭圆性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于x轴对称;若用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于y轴对称;若用分别代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于原点对称。所以，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点：我们把双曲

3、线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲线的顶点有几个？顶点坐标是？方程中，令，说明双曲线与x轴有两个交点；令，这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有公共点。虽然双曲线只有两个顶点，但我们仍然把标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。（4）实虚轴：椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A26叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.（5）渐近线:(双曲线特有的性质)初中学过，双曲线的图像与x轴和y轴无限接近但不相交，那么x

4、轴和y轴就是双曲线的渐近线，只不过双曲线不在标准位置。标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？课本小字部分告诉我们，渐近线是双曲线特征矩形的对角线，双曲线的渐近线方程是即。注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程中的1改为0后得到新的方程，它的解就是两条渐近线方程。渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程）（6）离心率：类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。椭圆离心率的范围是什么？（）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？6e对双曲线的形状有何影响呢？

5、由于，得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大下面，我们来研究焦点在y轴上的双曲线的简单性质。2．双曲线的简单几何性质（1）范围（2）对称性关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点（4）实虚轴实轴A1A2、长2a；虚轴B1B2、长2b（5）离心率（6）渐近线即三、例题讲解【例1】求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率.分析：先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．解：将双曲线方程4x2－y2＝4化为标准方程x2－＝1，∴a＝1，b＝2，∴c＝.因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；实半轴长是a＝1，

6、虚半轴长是b＝2；离心率e＝＝＝.6评注：由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式－＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0);(2)实轴长为16，离心率为.分析：由双曲线的几何性质，列出关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值．解：(1)设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1.∴双曲线的标准方程为：－y2＝1.(2)设双曲线的标准方程为

7、－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.评析：根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a、b、c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．6四、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生从知识点和思想方法两个方面小