关于含参函数单调性问题导数解法的研究-论文.pdf

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1、·５２·中学数学月刊２０１４年第４期关于含参函数单调性问题导数解法的研究陈小祥（江苏省徐州市侯集高级中学２２１１２１）导数的引入极大地方便了对函数单调性的研值狓１，狓２，当狓１＜狓２（狓１＜狓２）时，都有犳（狓１）＜究和相关问题的解决，然而源于高中阶段目前的犳（狓２）（犳（狓１）＞犳（狓２）），那么就说狔＝犳（狓）在区知识体系下学生无法深入学习理解极限、导数等间犐上是单调增（减）函数，如果函数狔＝犳（狓）在高等数学基础内容等原因，中学相关教材中（苏教区间犐上是单调增（减）函数，那么就说狔＝犳（狓）版）对导数与函数单调性关系做了简化处理，教参在区间犐上

2、有单调性．中也提出了不必深究的建议．然而不论在教学中选修１１中对函数单调性则这样描述：还是在高考中都出现了相关的问题，这些问题引定义２设函数狔＝犳（狓）在某个区间内可起了师生教与学的困惑．本文主要对含参函数单导，如果犳′（狓）＞０（犳′＜０），则函数狔＝犳（狓）为调性问题的导数解法中出现的一些问题作一浅显这个区间上的增（减）函数．的研究，并给出合适的解决策略，不当之处，敬请利用定义１结合导数定义证明定义２并不指正．难，这里略去，但是利用定义２解决以下教学中常苏教版必修１中对函数的单调性作了这样的见问题时会遇到不少困惑和争议：定义：问题１求函数狔＝狓

3、３的单调区间；定义１一般地，设函数狔＝犳（狓）的定义域问题２函数狔＝犪狓３－狓在（－∞，＋∞）上为犃，区间犐犃，如果对于区间犐内的任意两个是减函数，求实数犪的范围；檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪阳引力潮的合成用下面的函数表示：２π２π犳（狓）＝ｓｉｎ（狓）＋２．１７ｓｉｎ（狓＋φ），其中犜１犜２２５２犽π犜１＝１２，犜２＝１２，φ＝－，犽∈犣，整理化简可６０１５图２π２４π２犽π得犳（狓）＝ｓｉｎ（６狓）＋２．１７ｓｉｎ（１４９狓－１５），犽∈４继续思考，寻找规律［０，３０］∩犣，其中

4、犽表示农历初一到三十中的某到此学生的两个问题都得到了比较好的回一天，狓表示第犽天中的某一时刻，犳（狓）表示该时答，但继续思考我们会发现，上述潮汐模型其实就刻海潮的相对高度．是两个相近频率的正弦波的叠加问题，那么两个相近频率的正弦函数之和在（－∞，＋∞）上的图３电脑演示，检验模型观察图象的变化，很容易看到初一、十五涨大象是什么样子的呢？通过几何画板我们可以看到潮（图１），初八、二十三涨小潮（图２）．另外，当犽＝０图３．时，３：００时刻达到第一次大潮，１６天后，即犽＝１６时，１６：００时刻达到第一次大潮，所以平均每天第一１６－３次大潮后移时间为＝４８．７

5、５ｍｉｎ≈５０ｍｉｎ．１６图３此类问题在声学中被称为拍现象，在数学上我们姑且可以称为鱼形函数．它在测高速运动物体的速度上有很好的应用．图１２０１４年第４期中学数学月刊·５３·犪狓－１犪≥１．问题是，若将原题改为“设函数犳（狓）＝ｌｎ狓问题３函数狔＝在（－１，＋∞）上单狓＋１－犪狓，若函数在［１，＋∞）上是单调减函数，求实调递增，求实数犪的范围；数犪的范围”呢，用此种解法得到的结果就是错解问题４（２０１３江苏高考第２０题）设函数犪＞１了，为什么呢？犳（狓）＝ｌｎ狓－犪狓，若函数在（１，＋∞）上是单调减２导数与函数单调性关系深层次探究函数，求实数犪的范围

6、．我们知道，定义２给复杂函数单调性的判断１教学中常见问题与争议概述带来了极大的便利，但使用其解决关于单调性的对于问题１，易知其单调增区间是（－∞，逆向问题时，则有点力不从心．因为逆向问题的解２，令狔′＞＋∞），然而若用定义２，即因为狔′＝３狓决至少应考虑单调性的必要条件，当然充要条件０得狓∈（－∞，０）∪（０，＋∞），所以函数的单调更好．华东师大《数学分析》教材（高等教育出版增区间为（－∞，０），（０，＋∞），为什么不是（－∞，社，１９９１年版）对于这个问题给出的答案是：＋∞）？如果是，为什么可以将（－∞，０），（０，定理若函数犳（狓）在区间（犪，犫

7、）内可导，则＋∞）并起来成为（－∞，＋∞）？于是教学中可３犳（狓）在区间（犪，犫）内严格递增（递减）的充要条能会结合函数狔＝狓函数图象得到：函数狔＝件是：（１）对一切的狓∈（犪，犫），有犳′（狓）≥犳（狓）在某个区间（犪，犫）内可导，若犳′（狓）＞０，则０（犳′（狓）≤０）；（２）在（犪，犫）的任何子区间上狔＝犳（狓）在某个区间（犪，犫）内递增，反之不成立．犳′（狓）不恒为０．即在区间（犪，犫）内，犳′（狓）＞０是犳（狓）在区间（犪，需说明的是：（１）这里的严格递增指高中教犫）内单调递增的充分不必要条件，进而直接引出材中所说的递增，即对应定义１；（２

8、）此定理的证所谓的充要条件：函数狔＝犳（狓）在某个区间（犪，犫）明需涉及超出高中知识范畴的新知识，所以教参内