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《导数应用：含参函数的单调性讨论(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数应用：含参函数的单调性讨论(二)对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题32例1、已知函数f(x)ax3x3x1,aR,讨论函数f(x)的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定f'(x)0的解区间；确定函数的减区间就是确定f'(x)0的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。32/2解：因为f(x)ax3x3x1,aR，所以
2、f(x)3(ax2x1)/1/1/(1)当a0时，f(x)3(2x1)，当x,时，f(x)0；当x,时，f(x)0；2211所以函数f(x)在(,]上单调递增，在[,)上单调递减；22/2(2)当a0时，f(x)3(ax2x1)的图像开口向上，36(1a)/I)当a1时，36(1a)0,时，f(x)0，所以函数f(x)在R上递增；/II)当0a1时，36(1a)0,时，方程f(x)0的两个根分别为11a11ax1,x2,且x1x2,aa11a11a所以函数f(x)在(,)，(,)上单调递增，aa11a11a在(,)上单调递减；
3、aa/2(3)当a0时，f(x)3(ax2x1)的图像开口向下，且36(1a)0/11a11a方程f(x)0的两个根分别为x1,x2,且x1x2,aa11a11a所以函数f(x)在(,)，(,)上单调递减，aa11a11a在(,)上单调递增。aa11a11a综上所述，当a0时，所以函数f(x)在(,)上单调递增，aa11a11a在(,)，(,)上单调递减；aa11当a0时，f(x)在(,]上单调递增，在[,)上单调递减；2211a11a当0a1时，所以函数f(x)在(,)，(,)上单调递增，aa11a11a在(,)上单调递减；
4、aa当a1时，函数f(x)在R上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。1例2．（2010山东理数改编）1a已知函数f(x)lnxax1(aR).讨论f(x)的单调性；x1a解：因为f(x)lnxax1的定义域为(0,)x2'1a1axx1a所以f(x)ax(0,
5、)，22xxx2令h(x)axx1a,x(0,)，则f'(x)与g(x)同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：1①当a＜0时，由于1＜0<1，h(x)开口向下,结合其图象易知a'x(0,1)，h(x)＞0,此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；'x(1,)时，h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增.②当a0时，h(x)开口向上,但x2是否在定义域需要讨论：1因10a0或a1所以a1i)当a1时，由于1＜0<1，h(x)开口向上,结合其图象易知a'x(0,1)，h(x
6、)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增.'x(1,)时，h(x)＞0,此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；ii)当0a1时，g(x)开口向上且x1,x2(0,)，但两根大小需要讨论：1a)当a时，xxh(x)≥0恒成立，12,2'此时f(x)≤0，函数f(x)在（0，+）上单调递减；11b)当0＜a＜时，1＞1＞0，g(x)开口向上且在（0，）有两根2a'x(0,1)时，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；21'x(1,1)时h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增；a1'x(1,)时
7、，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；a11c)当a1时，011，g(x)开口向上且在（0，）有两根2a1'x(0,1)时，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；a1'x(1,1)时h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增；a'x(1,)时，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合
8、g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：1①10a0或a1a1i)当a＜0时，由于1＜0<1，h(x)开口向下,结合其图象易知a'x(0,1)，h(x)＞0,此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；'x(1,)时，h(x)
