导数应用：含参函数的单调性讨论教师版

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1、导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法：讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为(它与同号)I）当时，恒成立，此时在和都是单调增函数，即的增区间是和;II)当时此时在和都是单调增函数，在和都是单调减函数，即的增区间为和;的减区间为和.步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的

2、同类单调区间不要合并。 变式练习1:讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为(它与同号)I）当时，恒成立，此时在为单调增函数，即的增区间为，不存在减区间;II)当时;此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.例2．讨论的单调性解：的定义域为(它与同号)I）当时，恒成立（此时没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为II）当时，恒成立，（此时不在定义域内，没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为III)当时,令于是，当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x0增↗减↘所以，此时在为单调增函数，在是单调

3、减函数，即的增区间为;的减区间为.小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间内的符号。一般先讨论无解情况，再讨论解过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。变式练习2.讨论的单调性解：的定义域为,它与同号.令，当时，无解；当时,(另一根不在定义域内舍去)i)当时，恒成立（此

4、时没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为ii)当时，恒成立，(此时方程判别式,方程无解)此时在为单调增函数，即的增区间为iii)当时,当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x0增↗减↘所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。对于二次型函数（如）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。例3　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若

5、a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝

6、x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．引申探究：在本例3(3)中，1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解　方法一　∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴即解之得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．方法二　∵g′(x)＝x2－ax＋2，由题意可得g′(x)≤0在(－2，－1)上恒成立，即a≤x＋在(－2，－

7、1)上恒成立，又y＝x＋，x∈(－2，－1)的值域为(－3，－2]，∴a≤－3，∴实数a的取值范围是(－∞，－3]．2．若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值．解　∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.3．若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围．解　由引申探究1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－∞，－3]，若g(x)在(－2，－1)上为增函数，可知a≥x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋的值域为(－3，

8、－2]，∴a的范围是[－2，＋∞)，∴函数g(x)在(－2，－1)上单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－2，＋∞)，故g(x)在(－2，－1)上不单调，实数a的取值范围是(－3，－2)．思维升华　已知函数单调性，求