导数应用：含参函数的单调性讨论(一).pdf

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1、精品文档导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：f'(x)0xAB...f(x)增区间为A,B和...f'(x)0xCD...f(x)增区间为C,D和...xD时f'(x)0f(x)在区间D上为增函数xD时f'(x)0f(x)在区间D上为减函数xD时f'(x)0f(x)在区间D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解a例1讨论f(x)x的单调性，求其单调区间xa解：f(x)x的定义域为(,0)(0,)xax2af'(x)1(x0)(它与g(x)x2a同号

2、)x2x2I）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，此时f(x)在(,0)和(0,)都是单调增函数，即f(x)的增区间是(,0)和(0,);II)当a0时f'(x)0(x0)xa或xaf'(x)0(x0)ax0或0xa此时f(x)在(,a)和(a,)都是单调增函数，f(x)在(a,0)和(0,a)都是单调减函数，即f(x)的增区间为(,a)和(a,);f(x)的减区间为(a,0)和(0,a).步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号

3、的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1:讨论f(x)xalnx的单调性，求其单调区间解：f(x)xalnx的定义域为(0,)axaf'(x)1(x0)(它与g(x)xa同号)xxI）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，此时f(x)在(0,)为单调增函数，1欢迎下载。精品文档即f(x)的增区间为(0,)，不存在减区间;II)当a0时f'(x)0(x0)xa;f'(x)0(x0)0xa此时f(x)在(a,)为单调增函数，f(x)

4、在(0,a)是单调减函数，即f(x)的增区间为(a,);f(x)的减区间为(0,a).例2．讨论f(x)axlnx的单调性解：f(x)axlnx的定义域为(0,)1ax1f'(x)a(x0)(它与g(x)ax1同号)xx1I）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立（此时f'(x)0x没有意义）a此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)II）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，1（此时f'(x)0x不在定义域内，没有意义）a此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,

5、)1III)当a0时,令f'(x)0xa于是，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)111x(0,)(,)aaaf'(x)0f(x)增↗减↘11所以，此时f(x)在(0,)为单调增函数，f(x)在(,)是单调减函数，aa11即f(x)的增区间为(0,);f(x)的减区间为(,).aa小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出f'(x)的零点，再其分区间然后定f'(x)在相应区间内的符号。一般先讨论f'(x)0无解情况，再讨论解f'(x)0过程产生增根的情况（即

6、解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据f'(x)零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。2欢迎下载。精品文档1变式练习2.讨论f(x)ax2lnx的单调性21解：f(x)ax2lnx的定义域为(0,)21ax21f'(x)ax(x0),它与g(x)ax21同号.xx令f'(x)0ax210(x0)，1a当a0时，无解；当a0时,x(另一根不在定义域内舍去)aa1i)当a0时，f'(x)0(x0)恒成立

7、（此时f'(x)0x2没有意义）a此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)ii)当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，(此时方程ax210判别式0,方程无解)此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)iii)当a0时,当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)111x(0,)(,)aaaf'(x)0f(x)增↗减↘11所以，此