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《导数应用：含参函数的单调性讨论(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-导数应用：含参函数的单调性讨论(二)对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题例1、已知函数f(x)ax33x23x1,aR,讨论函数f(x)的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定f'(x)0的解区间；确定函数的减区间就是确定f'(x)0的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解：因为f(x)ax33x23x1,aR，所以
2、f/(x)3(ax22x1)(1)当a0时，f/(x)3(2x1)，当x1,时，f/(x)0；当x1,时，f/(x)0；22所以函数f(x)在(,1]上单调递增，在[1,)上单调递减；22(2)当a0时，f/(x)3(ax22x1)的图像开口向上，36(1a)I)当a1时，36(1a)0,时，f/(x)0，所以函数f(x)在R上递增；II)当0a1时，36(1a)0,时，方程f/(x)0的两个根分别为x111a,x211a,且x1x2,aa所以函数f(x)在(,11a)，(1a1a,)上单调递增，a在(11a,11a)上单调
3、递减；当a0时，f/(x)3(ax2aa(3)2x1)的图像开口向下，且36(1a)0方程f/(x)0的两个根分别为x11a1a,x211a,且x1x2,a所以函数f(x)在(,11a)，(11a,)上单调递减，aa在(11a,11a)上单调递增。aa综上所述，当a0时，所以函数f(x)在(11a,11a)上单调递增，aa在(,11a)，(1a1a,)上单调递减；1a1当a0时，f(x)在(,)上单调递减；]上单调递增，在[,22当0a1时，所以函数f(x)在(11a)，(11a)上单调递增，,aa,--在(11a,11a)
4、上单调递减；当a1时，函数f(x)在R上递增；aa小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。--1--例2．（2010山东理数改编）已知函数f(x)lnxax1a1(aR).讨论f(x)的单调性；x解：因为f(x)lnxax1a)x1的定义域为(0,所以'1aa1ax2
5、x1a(0,)，f(x)x2x2xx令h(x)ax2x1a,x(0,)，则f'(x)与g(x)同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：①当a＜0时，由于11＜0<1，h(x)开口向下,结合其图象易知ax(0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；x(1,)时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增.②当a0时，h(x)开口向上,但x2是否在定义域需要讨论：因110a0或a1所以ai)当a1时，由于11＜0<1，h(x)开口向上,结合其图象易知
6、ax(0,1)，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增.x(1,)时，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；ii)当0a1时，g(x)开口向上且x1,x2(0,)，但两根大小需要讨论：a)1时，x1x2,h(x)≥0恒成立，当a2此时f'(x)≤0，函数f(x)在（0，+）上单调递减；b)111＞1＞0，g(x)开口向上且在（0，）有两根当0＜a＜时，--2ax(0,1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；--2--x(1,11)时h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函
7、数f(x)单调递增；ax(11,)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；ac)当1a1时，0111，g(x)开口向上且在（0，）有两根2ax(0,11)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；a--x(11,1)时h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)ax(1,)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递增；单调递减；--小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域
8、限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：1①10a0或a1ai)当a＜0时，由于11＜0<1，h(x)开口向下,结合其图象易知ax(0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数f(x
