(整理)微分方程的例题分析与解法.docx

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1、---------精品文档微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接

2、代下列通解公式：pxdxq(x)epxdxyedxC齐次型微分方程yyf()yx令uu与自变量x的变量可分离的微分方程。，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）yf(x)，直接积分；（2）yf(x,y)，令yp，（3）yf(y,y)，令yp，则ydppdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2pq0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)exPm(x)和f(x)ea

3、xPl(~xx)cosxpn(x)sin-------------------精品文档-------------------精品文档设置特解y的形式，然后使用待定系数法。四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可

4、分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y)0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dyf1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为ysin(xc)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。yf(y)或dyf(y)（3）xdxx可用代换yux化为dudxf(u)

5、ux两端同时积分即可求解。（2）关于一阶线性微分方程。一阶线性微分方程是指形如yp(x)yq(x)（4）的方程，其中p(x)、q(x)是已知函数，其特点是y，y都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式-------------------精品文档-------------------精品文档p(x)dxp(x)dx（5）ye(q(x)edxC)来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程yp(x)y0p(x)dx，再令C来未知函数C(x)，将yC(x)ep(x)dx的通解yCe代入方程（4），求出C(x)，最后得到所求通解yp(x)dxC(x)e。

6、有的方程把x看作未知函数，y看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程ylnxdx(xlny)dy0可变形为关于xx(y)的一阶线性非齐次方程dxx1dyylnyy如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。yp(x)yq(x)yn，(n0,1)用代换zy1n则化为z(1n)p(x)z(1n)q(x)（二）关于常数变易法所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数C变为待定函数C(x)，然后代入线性非齐次微分方程中，求出C(x)，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。C(x)，由于yp(x)y0的通解为

7、yCep(x)dx常数变易法的关键是如何确定（1），将常数C用C(x)代换，设yp(x)dxp(x)yq(x)的通解，将其代入C（x)e为方程y方程中，就得到关于待定函数C(x)的导数C(x)应满足的方程，即(p(x)dx())（*）Cxeqx（*）式是求C(x)过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通解yC(x)ep(x)dx*）式中的C(x)换成C(x)，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（变形，再求积分就得到C(x)。p(x)dxD