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1、函数的例题分析及解法本章主要介绍畅数的概念，包括两数的定义及表示法，关于函数的一些属性（对称性，周期性、有界性、单调性等），基本初等函数和初等函数。说“高等教学研究的是变量”，是因为今后要学习的微分学和积分学都以函数（主要是初等函数）为研究对象，微分学主要研究函数局部性态，积分学主要研究函数的整体特征。因此，掌握函数概念对学好本课程来说是最基本的。通过学习本章，要求读者正确理解函数概念，正确使用函数符号）（xf,掌握六类基木初等函数的特性和图形，从计算的角度来看，要求读者会求给定函数的定义域，能根据问题要
2、求建立函数关系表达式，学会如何把一个复杂的初等函数分解成若干个基木初等函数的加、减、乘、除和复合运算。一、疑难解析（一）关于函数概念1.在理解函数定义时要抓住：（1）定义域：自变量的变化范围。（2）对应规则：因变量和自变量的对应规则（对应法则或对应关系）通常称定义域和对应规则是函数的两要素。函数的定义域确定了函数存在的范围，对应规则确定了自变量如何对应到因变量。因此，这两要素一旦确定，函数也就完全确定了。即两个函数恒等当且仅定义域和对应规则完全相等，若两者之一不同，就是两个不同的函数。2.关于函数定义的说
3、明（1）函数的定义域不许是空集合，如53xxyo因为既大于5又小于3的数不存在，故定义域是空集合，所以y不是函数。（2）函数的单值性，本书定义的函数是：任给Dx,只能有唯一的y值，满足）（xfy,而不是两或更多个y值，就是说，D内不同的x可以对应到一个y的值，但不能有D内的一个x,对应到多个不同的y值。（3）函数符号）（xfy,只表示“y是x的函数”这件事，f表示自变量x通过f或f（）对应成y,或者说按照f或f（）,把x变成）（.xfy决不是f与x相乘。如2xxxfy①那么f就代表运算式3（）2+（）-7
4、括号内是自变量的位置，运算的结果得以因变量的值。自变量和因变量用什么字母表示都无关紧要。如732ttu2表示的函数关系与①相同。1.在函数的定义中，对表示函数的方式没有限制，不要认为函数就是表达式，表达式只是表示函数的一种重要的常用的表示形式，还可以用图象、表格表示函数，即使用表达式表示函数，也不要以为只有一个表达式表示的变量关系才是函数。还经常会遇到，在不同区间上用不同的表达式表示的函数。这里再举些用表达式表示函数的例子，如xy表示“小于或等于x的最人整数=Xxxy表示“x的小数部分"2.注意）（xf与
5、）（0xf不同：）（xf是变量；）（0xf是一个常量，是当自变量x取值0x时，函数）（xf的值，或记作00）（,xxxxxfy（-）关于复合函数，若UD两个函数）0,（）,）（（xguuUxguDuufy,那么））（（xgfy就是f与g的复合函数，U是中间变量。简单地说，得合函数就是函数嵌套函数或者两数的凶数。如xuxysin）,1lg（等都是复合函数，但）2arccos（2xy不是复函数，因为其它定义域是空集，不能构成函数。学习复合函数时应分清复合关系，会把复合函数拆成一串基本初等函数或基本初等函数的四
6、则运算形式，为学习第三章打卜•良好的基础。（三）关于初等函数和函数的性质1.基本初等函数是我们学习的基础，出它们构成了微积分研究的主要对象一一初等函数。因此，必须掌握六类基本初等函数的表达式、定义域、主要性质、值域、图形。2.由基本初等函数经过有限次、一、X、m或复合构成的函数称为初等函数，曲它的构成方法可知，初等函数只能用一个数学式了表达。需用分段表示的函数，不是初等函数。微符号分主耍研究初等函数，有时也研究非初等函数。3•对于奇偶函数，其定义域必须是关于原点对称的区间。如xxyO（2）,根木无法讨论它
7、是奇函数还是偶函数。（四）其它问题1.复合函数）（xfy与函数）（xu的定义域是否相同？答：一般来说不相同，因为）（xfy要求数值）（x落在）（ufy的定义域内，而）（XU的値域可能超出）（Ufy的定义域。所以复合函数）（xfy的定义域通常是函数）（xu的定义域的真子3集。例女口uufyarcsin）（21,1与），（xu的定义域分别是2arcsin)(xxfy的定义域112）（XX的定义域），（的真子集。1.有的事物具有二重性，函数也如此，函数xy,它是分段函数。xXxy它不能由基木初等函数用四则运算或
8、复合运算得到，因此，它不是初等函数，然而2xxy它是幕两数的复合函数，是初等两数。二、例题分析例1为下列各题选择正确答案：（1）如图的集合对应是函数关系的为（）（2）函数XXxf1）（的定义域是（)(A))0,((B)),0((C)),((D)),0()0,()（3）函数2xxy的值域是（)(A)),0((B)2,0(C)1,0(D)1,0)4(4)设xefx)(，则(A)10ee10(5)设函数()10(f((B)数的为(A
