微分方程的例题分析及解法

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1、微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程

2、；当然也可直接代下列通解公式：齐次型微分方程令，则方程化为关于未知数与自变量的变量可分离的微分方程。三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1），直接积分；（2），令，（3），令，则这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点和28设置特解的形式，然后使用待定系数法。四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有

3、关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若，则方程（1）可化为变量已分离的方程两端积分，即得（1）的通解：（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为，但显然也是该方程的解，却未包含在通解中，

4、从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。或（3）可用代换化为两端同时积分即可求解。（2）关于一阶线性微分方程。一阶线性微分方程是指形如（4）的方程，其中、是已知函数，其特点是，都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式28（5）来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程的通解，再令来未知函数，将代入方程（4），求出，最后得到所求通解。有的方程把看作未知函数，看作自变量时成为一阶线性微分

5、方程，如方程可变形为关于的一阶线性非齐次方程如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。，用代换则化为（二）关于常数变易法所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数变为待定函数，然后代入线性非齐次微分方程中，求出，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。常数变易法的关键是如何确定，由于的通解为（1），将常数用代换，设为方程的通解，将其代入方程中，就得到关于待定函数的导数应满足的方程，即（*）（*）式是求过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通解

6、中的换成，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（*）式变形，再求积分就得到。28例求的通解。解这是一阶线性方程，，。相应的齐次方程的通解为。设非齐次方程的通解为，代入原方程，得所求通解为面（三）可降阶的特殊本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法方程形式求解方法积分得，再积分，得通解。设，则，方程化为设则，方程化为（四）二阶线性常系数微分方程(其中为常数)当时称为齐次的，此时通解依特征方程的特征根而定（见教材表8-6-1），当时，称为非齐次的。它的通解可写

7、成其中是该方程对应的齐次方程28的通解，而是该方程的一个特解。一般说来，求特解并不是件容易的事情，但当右端项为某些特殊形式函数时，特解具有相应的特殊形式，如表8-2所示。这时可用特定系数法来求出。表8-2非齐次项的形式特征方程的根特解的形式是次多项式0不是特征根（即时）0是特征方程的单根（即时0是特征重根，（即时）是与同次的多项式即是指数函数与多项式乘积不是特征根是单特征根是重特征根是与同次的多项式不是特征根是特征根都是次多项式不是特征根是特征根从表8-2可以看出，特解的设法与非齐次项的形式基本是相同的，只不过依不是特征根、是单根、是重根时，依

8、次再分别乘以一个因子（）。解题时首先应设定特解的形式，注意其中的未知多项式或或，的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将代入原方程，用待定系数法确