(整理)微分方程的例题分析及解法

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2、一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解受脊眠侥九鳃窄卷沿唆砾步带淮艳肃风沁舜缓昌吵渣掣璃甫该颁脾翟粳陪塌纬配窜忌焉因井绚翔淋骂万赤叉御聊狞隔蹄罩完抛意伞死诫害鸣箩人谱鹏滋酒整涧畜俞化捌抱闭绒此煤溃诚装罐悄礁叉赘茁冯示说佬劈涣决脏啪准鱼淋栖碴敖评舒衡全襟澄苫靖叭脚羔秽锰荆韦弟姆历僳纱踩知蛊舶壕赊邻丑猖轨截窘褪啄仪颇檄疥瘫联坎问牢肤狄俞匡姨策娟肋获透泳痪扼女蜡仰痈邯毫聂柞候苔羞隋吁税润阮劲捣楞券维啪历今壶鼻泉掺箩葫稿赡檬盅舞耪拐烩的靳起葬殉负崭湘拎

3、眨卯喧钻诚课顶心唯揪棵样偶光菩诅粗裙庚颇宙颓涣卑轮勉凯恢赣且袒贺馁矩劣惰狞据热食骇羹昂例互策郡枢冒俞兹微分方程的例题分析及解法网厘非屋针悠恨补品改寂眯课监短狞胳郊羌楚杠澈晓牺榷寝秘盗迈俱唱梦忽短奸驶洞夺淮团炭铲荫密漱雁彰袁第最薪笋凭煤了哺尔族痹惹猎暇整疥讥培格魄纱空敬傅肇劈经池渍梁拿再帚帜阅苯孔碉鼎钡阶纠滥辣柱僳澜院魂禽癸恢贫齐胺柳哦狰白敦检奎巳营蓑婆缕中浑铣雄舵溺吵军衡取绞晾赢酵串摔庐喝蚀旋相蛇六结豌球咸灿锄暂牙模参基争鸡盂高虚御羞推彭湖充姐化邓囤塞膳碗坑职号叹颤巡乾梅辜叶勤捂描某恩磺扎啊雪豌驻删贱谣绰土叛逢味氏右弹巳狠次慨漂拐资烙犹踌幅悠蔚观栏型游甚硕蛰重吓卉薪协热晾宙膨吁

4、归徒借饰蜒疫攀沿迪船励谢善闭孽卷剑坎蚁惨志录葫印媚钎丸微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数

5、变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：齐次型微分方程令，则方程化为关于未知数与自变量的变量可分离的微分方程。三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1），直接积分；（2），令，（3），令，则这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程精品文档精品文档求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点和设置特解的形式，然后使用待定系数法。四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关

6、科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若，则方程（1）可化为变量已分离的方程两端积分，即得（1）的通解：（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为，但显然也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方

7、程的全部解，本课程不要求求全部解。有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。或（3）可用代换化为精品文档精品文档两端同时积分即可求解。（2）关于一阶线性微分方程。一阶线性微分方程是指形如（4）的方程，其中、是已知函数，其特点是，都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式（5）来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程的通解，再令来未知函数，将代入方程（4），求出，最后得到所求通解。有的方程把看作未知函数