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1、第19卷第4期大学数学Vo1.19N.42003年8月COLLEGEMAT~EMATICSAug.2003================================================================利用球面坐标及柱面坐标计算曲面积分张春跃(南京邮电学院应用数理系南京210003D[摘要]介绍了利用球面坐标及柱面坐标计算对面积的曲面积分的方法及其应用.[关键词]球面坐标;柱面坐标;曲面积分[中图分类号]O172.2[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2003D04-0098-03在计算对面积的曲面积分f(IyDdS时如
2、果曲面是球面或柱面的一部分利用球面坐标或柱Z面坐标有时非常方便.一~设Z是球面或球面的一部分球面方程为I2222-y-=R.利用球面坐标(1g0D该球面的方程为1=R.又设Z;1=RU{0{B7{g{c.利用球面坐标的坐标面g=常数0=常数把积分曲面Z分成许多小块曲面则曲面的面积元素为2dS=Rsingdgd0.(1D曲面元dS上任一点(IyD于球面坐标(1g0D之间的关系为I=Rsingcos0y=Rsingsin0=Rcosg(2D所以Bc2f(IyDdS=d0f(Rsingcos0Rsingsin0RcosgDRsingdg.U7例1计算222222(I-y
3、DdS其中S是球面I-y-=R.Z解用球面坐标计算由(1D(2D式得2TT224384(I-yDdS=d0Rsingdg=Ta.003Z二~设Z是柱面的一部分柱面的方程为I222-y=R.利用柱面坐标(10D该柱面的方程为1=R.又设Z;1=RU{0{Bg1(0D{{g2(0D.以坐标面=常数0=常数分割曲面Z设dS为任一小块曲面则面积元素dS=Rd0d曲面元dS上任一点(IyD与其柱面坐标(10D之间的变换关系为I=Rcos0y=Rsin0=(3D所以Bg2(0Df(IyDdS=d0f(Rcos0Rsin0DRd.(4DUg1(0DZ例2计算dS其中Z是界于平面
4、=0和=H之间的的圆柱面I2-y2=R2.222I-y-Z解利用柱面坐标由(3D(4D式得[收稿日期]2002-04-15第4期张春跃:利用球面坐标及柱面坐标计算曲面积分992THdSRdH222=d22=2Tarctan.I+y+OOR+R下面介绍两个进一步灵活利用球(柱)面坐标计算曲面积分的例子.例3证明:R222f(aI+by+c)dS=2TRf(~a+b+c)d,-R这里为球面I2222+y+=R,f为连续函数.证根据被积函数的特点,先作坐标系的旋转,使得在新坐标系O-mz中,mz坐标面为原坐标系中的平面aI+by+c=O,且轴正向与向量n={a,b,c}
5、同向,m轴与z轴的选取使O-mz为右手系,则O1={I,y,}n=(aI+by+c)222~a+b+c且球面在新坐标系下的方程为2222+m+z=R,在坐标系旋转下曲面面积元素不变,下面在新坐标系下用球面坐标来计算:222f(aI+by+c)dS=f(~a+b+c)dS2222=f(RcoSg~a+b+c)RSingdgd2TT2222=df(RcoSg~a+b+c)RSingdgOOT222=-2TRf(RcoSg~a+b+c)dRcoSgOR222=2TRf(~a+b+c)d.-R例4求圆柱面I2222和IOy坐标面所截部分的面积.+y=2aI(a>O)被锥面
6、=~I+y解我们知道S柱=dS.根据积分曲面的特点,先将坐标原点平移至(a,O,O),然后利用柱面坐标计算,则圆柱面被锥面和坐标面所截部分的参数方程为222I=a+acoS,y=aSin,=(O~(a+acoS)+aSin,O2T).在上用=常数的直线(平行于轴)和=常数的平面分割曲面,面积元素dS=add,2T~(a+acoS)2+a2Sin22T2S柱=dad=2acoSdOOO2TT222=4acoSd=8aSin=8a.O22O此题利用第一类曲线积分的几何意义来计算也很方便2T222222S柱=d=~I+yd=~(a+acoS)+aSinad=8a.CCO
7、由例B~例4可见利用球面坐标~柱面坐标计算曲面积分时球(柱)坐标系的建立都可以适当变化,方便计算.关键是弄清面积元素如何表示,原直角坐标(I,y,)与新的球(柱)坐标之间的变换关系.[参考文献][1]同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1996.[2]陈仲,姚天行,张天岭.高等数学复习与试题选解[M].南京:南京大学出版社,1995.100大学数学第19卷EValuatingSurfaceIntegralswithSphericalandCylindricalC00rdinatesZHANGC~n-y~e(Departmentofa
8、pplie
