不等式-算术平均数与几何平均数（一）.doc

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1、第六章　不等式第四课时§6.2.1　算术平均数与几何平均数（一）教学目标（一）教学知识点1．重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）．2．算术平均数、几何平均数及它们的关系．（二）能力训练要求1．学会推导并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要定理．2．理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．3．强化训练探究性学习．（三）德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力．渗

2、透数学思想方法，激励学生去取得成功．教学重点1．重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）．2．如果a、b是正数，则为a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”．即定理：如果a、b是正数，那么≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）．3．上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当……时取‘＝’号”的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b＝；仅当a＝b时取等号，即＝a＝b．综合起来，就是a＝b是＝的充要条件．教学难点1．a2＋b2≥2ab和≥成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数

3、，而后者要求a、b都是正数．2．这两个公式还可以变形用来解决有关问题．教学方法1．启发式教学法．2．激励——探索——讨论——发现．教具准备幻灯片两张14第一张：记作§6．2．1　A1．差值比较法：（1）依据：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0．（2）步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论．（3）用途：①比较两个实数的大小；②证明不等式的性质；③证明不等式和解不等式．第二张：记作§6．2．1　B1．不等式的基本性质：（1）反对称性：　a＞bb＜a；（2）传递性：　　a＞b，b＞ca＞c；（3）可加性：　　a＞ba＋c＞b＋c；（4）可积性：　　

4、a＞b，c＞0ac＞bc，a＞b，c＜0ac＜bc；（5）加法法则：a＞b，c＞da＋c＞b＋d；（6）乘法法则：　a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；（7）乘方法则：a＞b＞0an＞bn(nN)；（8）开方法则：a＞b＞0(nN)；2．应用：已知a、b为正实数，m、nN＊且m＞n，求证：am＋bm≥am－nbn＋anbm－n．教学过程Ⅰ．课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点．我们有必要重新回顾“差值”比较法、不等式的基本性质，以便在今后学习中得以巩固和灵活运用．（一）打出幻灯片§6．2．1

5、　A，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么？主要解决哪些问题？通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6．2．1　A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面，即①依据是：a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式．（二）不等式性质巩固及应用（幻灯片§6．2．1　B）课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出幻灯片§6．2．1　B，使学生掌握下列不等式的基本性质；（1）反对称

6、性a＞bb＜a；（2）传递性a＞b，b＞ca＞c；（3）可加性a＞ba＋c＞b＋c；（4）可积性a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；（5）加法法则a＞b，c＞da＋c＞b＋d；（6）乘法法则a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；（7）乘方法则a>b>0an>bn(nN)；（8）开方法则a＞b＞0(nN)．为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、nN*且m＞n，求证：am＋bm≥am－nbn＋anbm－n．14［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质．在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全

7、面细致．请同学们自己完成本题证明过程．［生］(am＋bm)－(am－nbn＋anbm－n)＝(am－am－nbn)＋(bm－anbm－n)＝am－n(an－bn)＋bm－n(bn－an)＝(am－n－bm－n)(an－bn)，∵m＞n＞1，a＞0，b＞0，∴当a＞b＞0时，则am－n＞bm－n，an＞bn，∴(am－n－bm－n)(an－bn)＞0，当a＝b＞0时，则(am－n－bm－n)(an－bn)＝0，当b＞a＞0时，则bm－n＞am－n，bn＞an，∴(am－n－bm－n)(an－bn)＞0．综合上所述，当a、b为正实数，m、n∈N＊且m＞n时，（am－

8、n－bm－n）(an－b