资源描述：
《公理集合论初步.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、公理集合论初步集合论集合与属于朴素集合论具有给定性质的对象的全体定义为集合.“属于关系”是集合与元素之间的关系.□公理集合论给定集合论语言L={J}及该语言的一个模型〈V,J〉.集合论语言的模型的元素称为该模型中的集合,语言中二元关系符号的解释称为属于关系,用J表示.□□ZFC集合论有10条公理:外延公理空集公理偶对公理并集公理子集公理幂集公理无穷公理替换公理正规公理选择公理一般意义下的集合论的模型满足这些公理的中的一部分公理.□公理集合论是理论研究的基础理论□基本概念在集合论语言之下,在该语言的一个模型里,有一些可定义的元
2、素、谓词、函数.空集I表示空集:^x(xJI).□二元组表示二元组,是指以下集合:{{a},{a,b}}.□交集aQb表示交集:aQb{x
3、x=Ja[xJb}.□差集a-b表示差集:a-b{x
4、x=Ja[xJ/b}.□包含于N表示包含关系:aNb当且仅当]x(xJa>xJb).同时aOb当且仅当]x(xJb>xJa).□函数func(a)表示a是一个函数:9[9.12其中9是公式]x(xJa>^uv(x=)).19是公式]uvw(Ja[Ja>v=w).2公式9表示第二坐标具有唯一性.2□定
5、义域dom(a)表示函数的定义域:adom(a)={u
6、^v(Ja)}.□值域ran(a)表示一个函数的值域:aran(a)={v
7、^u(Ja)}.□象若是一个函数,abJdom(a),则a(b)表示满足以下条件的集合:Ja.函数也写为:aa:dom(a)>ran(a)bsa(b)□卡氏积对于集合及,它们的卡氏积aba#b是以下集合:{
8、uJa[vJb}.□自然数自然数:以表示0I以表示1{0}以表示2{0,1}以表示3{0,1,2}l□□外延公理公理]xy(]z(zJx?zJy)>x
9、=y)□含义两个集合若有相同的元素,则这两个集合是相等的.□□空集公理公理^x]y(yJx).也写为^x]y(yJ/x).记满足]y(yJ/x)的x为I，称为空集.□含义上述公理保证空集是存在的.集合论的任意模型中都包含空集.□空集是唯一的d若I是另一个空集.从]y(yJI/),可知d]z(zJI>zJI).d从]y(yJI/)可知d]z(zJI>zJI).所以d]z(zJI?zJI),d因而II=.□□偶对公理公理]xy^u]z(zJu?z=xZz=y).□含义对于集合x,y,记满足]z(zJu?z=xZz=y)的u{为x,y}.□有限集合的存
10、在性此公理与下面的并集公理可以保证存在任意多元素的有限集合:单元素集合假设是集合,则存在集合x{x}:{x}={x,x}.□三元素集合假设x,y,z是集合,则存在集合{x,y,z}:{x,y,z}={x,y}P{z,z}.□□□并集公理公理]x^u]y(yJu?(^z(zJx[yJz))).□含义对于集合x,记满足]y(yJu?(^z(zJx[yJz))).的u为Px.一个集合的并集,是由这个集合的元素的元素组成的.□P是一元函数例例PI=IP{I}=IPA=P{A}?函数的并函数集合的并交集定义集合xv的交集为满足以下条件的集合:]z(zJv
11、?]y(yJx>zJy)).对于集合xv,记上述为Qx.而AQAQAQl012被严格地写为Q{A,A,A,l}.012一个集合的交集,是这个集合的元素作为一组集合在朴素集合论意义下的交集.由定义可知,若Qxy存在,则对任意的Jx,有yOQx.□QI不存在集合,它是空集的交集.证明:若存在这样的集合.则]z(zJ.?]y(yJI>zJy)).所以对任意的,z]y(yJI>zJy)>zJ..但是]y(yJI>zJy)是永真的,所以zJQI.因而QI包含任意一个集合,这是不可能的,所以不存在集合..□□□子集公理公理假设9是集合论语言的公式，仅出现自由变
12、元x,l,x,x,z,1n不出现变元y,则]xlx]x^y]z(zJy?zJx[9).1n□含义对于给定的x,l,x,x,这样定义的集合y记为1ny={zJx
13、9}.集合yx是的子集,所以该公理称为子集公理.子集公理是一个公理模式.□□幂集公理公理]x^y(]z(zJy?zNx)).□含义对于给定的x,满足]z(zJy?zNx)x的yx称为的幂集,记为3(x),也记为2.一个集合的幂集,是该集合的所有子集构成的集合.□□无穷公理公理+^x(IJx[(]y(yJx>yJx))),+其中yy表示集合P{y}.□含义满足+IJx[(]y(yJx>yJx
14、))的集合称为归纳集无穷公理保证一类特殊集合是存在的□□替换公理正规公理公理]x(x=/I>^y(yJx[yQx=I))
