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《经典公理集合论系统与中介公理集合论系统之间的包含关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第3期数学研究与评论Vol.17No.31997年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1997经典公理集合论系统与中介公理集合论系统X之间的包含关系张 东 摩肖 奚 安(南京航空航天大学计算机系,210016)(空军气象学院数学教研室,南京市)摘 要 本文首先在中介公理集合论系统MS中构造出Peano自然数系统,以此为基础重新定义了MS中的良集概念,证明了新定义的良集满足经典公理集合论系统ZFC-(ZFC中去掉正则公理的集合论系统)的全部公理,从而说明经典公理集合论系统ZFC-为
2、中介公理集合论系统MS的子系统.关键词 公理集合论,中介公理集合论.分类号 AMS(1991)04öCCLO144关于中介数学是否包含经典数学的问题曾有过争议.文[1]曾提出质疑,文[2]就逻辑的包含关系问题给出了肯定的答复,说明经典二值逻辑是中介逻辑的子系统.就中介公理集合论与经典公理集合论的关系问题,文[3]中曾作过初步阐述,该文在中介公理集合论系统MS中定-义了一种良集的概念,证明了这样的良集满足与ZFC(经典公理集合系统ZFC中去掉正则公理得到的集合论系统)的九条公理相类似的九条定理,从而说明MS中的良集具有某些与经典-集合相类似的性质,
3、但这仍不能充分说明MS包含ZFC(或ZFC).本文通过在MS中重新定-义良集的概念,证明了这样的集合完全满足经典公理集合论系统ZFC的全部公理,且其配套的逻辑关系恰好为文[2]中构造的中介逻辑的二值子系统,从而最终回答了中介数学与经典数学的包含关系问题.本文以文[3]的前四节为基础,但独立于该文的以后各节.1MS中的自然数系统定义1在MS中+Ind(x)=dMf(a)∧Á∈a∧Px(x∈a]x∈a),这里M为MS的常谓词,M(a)表示a为小集,称满足Ind(a)的集合a为归纳集.引理1在MS中3va(Ind(a)∧Px(x∈aZPy(Ind(y)
4、]x∈y))).定义2在MS中X(a)=dfInd(a)∧Px(x∈aZPy(Ind(y)]x∈y))).定义3在MS中N(a)=dfvb(X(b)∧a∈b).X1994年12月12日收到.国家高技术863计划资助.—475—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.引理2在MS中3Px(N(x)]dis(x)).定理1在MS中1)3N(Á);+2)3Px(N(x)]N(x));+3)3Px(N(x)](x=Á∨vy(N(y)∧x=y)));++4)3PxPy((
5、N(x)∧N(y)∧x=y)]x=y);+5)3Px(N(x)]由(x=Á)).证明 只证4),其余略.++设N(x)∧N(y)∧x=y,则存在集合a,b,使x∈a∧X(a)及y∈b∧X(b).由Ind(a)+及X(b)有y∈a.再由M(a)及文[3]中定理3.14,存在下列集合c={zûz∈a∧∪z=z}.+因∪Á=∪(Á∪{Á})=Á,故Á∈c.假设z∈c,由引理2及结论2)可知:++++++++ ∪(z)=∪(z∪{z})=(∪z)∪(∪{z})=z∪z=z∪(z∪{z})=z∪{z}=z+++从而z∈c.故Ind(c).由此得x∈c且y∈
6、c,因此x=∪x=∪y=y,4)得证.容易看出,定理1中1)-5)即为Peano的自然数公理(见[4]).在MS中,以此五条性质为公理,以文[2]中所构造的一阶逻辑系统为配套逻辑,即可在MS中推出所有自然数性质,特别地,在MS中可以证明下文所需的自然数的归纳原理及递归原理等结论.本文约定用m,n,k表示自然数.2ZFC在MS中的实现0n+1n定义4在MS中递归定义下列记号:∪x=dfx;∪x=df∪(∪x).定义5在MS中nw(x)=dfdis(x)∧M(x)∧PnPy(y∈∪x]dis(y)∧M(y)),称满足w(x)的集合x为良集.定理2在M
7、S中3w(x)ZPy(y∈x]w(y))∧dis(x)∧M(x).证明 “]”通过对自然数n施行归纳法,可以证明对任何y∈x及任何自然数n,下式成立:nn+1Pz(z∈∪y]z∈∪x).(3) 现设w(x),从而有dis(x)∧M(x).任设y∈x,由w(x)的定义知dis(y)∧M(y),且对nn+1任意的自然数n及任意集合z∈∪y,由(3)可知z∈∪x,从而dis(z)∧M(z),故w(y).“a” 设x满足Py(y∈x]w(y))∧dis(x)∧M(x),通过对n施行归纳法可以证明nPz(z∈∪x]w(z))(33)从而有ndis(x)∧
8、M(x)∧PnPy(y∈∪x]dis(y)∧M(y)),亦即w(x)成立.□上列定理表明,本文定义的良集概念不同于文献[3]第五节中定义
