集合论新公理研究的哲学思考

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1、集合论新公理研究的哲学思考　　集合论新公理研究的哲学思考ok3A.Fraenkel)和A.利维(AzrielLevy)、王浩、F.R.德瑞克(FrankR.Drake)等人的着作和论文。相比于为ZFC公理提供辩护来说,她更强调,它们与未经证实的新公理相比不具有优先的认识论或形而上学地位。麦蒂还考察了人们对CH的态度。她除了参考上述学者的着述外,还引述了数学家、逻辑学家和集合论专家如科恩、哥德尔、D.司克脱(DanaScott)、D.A.马丁(DonaldA.Martin)、R.M.索罗维(RobertM.Solovay)、C.弗赖林(ChrisFreiling)等人的

2、论文。从她的综述看到,尽管独立性命题使得一些人,如科恩一开始采取形式主义的态度,但最终人们对CH具有确定的真值取得一致的意见,即集宇宙的存在支持CH是个真问题,所以引进新公理是必要的。另外,尽管CH的真值尚未判定,但多数人基于各种理由,倾向于猜测它为假。随着寻找新公理解决连续统问题工作的展开,最普遍被接受的新公理的内在理由是反射原则(reflectionprinciple)。它的基本思想是,集宇宙如此复杂以致不可能被完全描述,因此关于整个集宇宙的任何真,必定已经在该宇宙的某初始段为真。这样,哥德尔用迭代概念辩护的不可达基数和马罗基数、甚至比它们更强的弱紧致基数、不可描

3、述基数等都可以在反射原则下得到辩护,而且ZFC公理也可以重塑为反射原则。最终的结果显示,这些无穷公理都不能判定连续统问题的假,因为它们与证明连续统假设与ZFC公理相容的可构造公理V=L也相容。至于新公理的外在证成方面,人们一般都接受哥德尔声称的推论上的富有成果性。麦蒂在《相信公理II》中详细阐述那些不能用内在理由辩护的大基数公理的推论,尤其是二阶数论上的推论。她的论述显示,现代集合论研究中断定可测基数、武丁基数和超紧致基数等存在的更大的大基数公理以及涉及可定义实数的决定性公理都具有各自丰富的推论,因此得到了外在的辩护。这些技术工作主要归功于索罗维、马丁、M.福尔曼(M

4、atthean)、M.穆加多尔(MenachemMagidor)、S.谢拉(SaharonShelah)、HughonFeferman)发表于《美国数学月刊》上的论文《数学需要新公理吗?》以及2000年《符号逻辑简报》(TheBulletinofSymbolicLogic)上收录的费弗曼、麦蒂、J.R.斯蒂尔(JohnRobertSteel)等人在2000年符号逻辑年会上的会议论文均体现出这种分歧。争论的焦点主要表现为如下几个方面:(一)公理意指什么费弗曼在两篇文章的开头均引用了《牛津英语字典》的定义,说明他的“公理”含义即自明性。然后,他把公理的自明性归因于数学概念

5、的清晰直观。依照这个标准,他认为皮亚诺算术公理符合这个自明性的标准,因为自然数概念是清晰直观的。但斯蒂尔认为公理的自明性标准太主观了,不仅导致无法解决“何谓自明的”争论,而且产生的公理系统相当有限。他主张,迫使我们接受公理为真的更可能是作为整体的公理系统,而且这个过程是渐进的。因此,尽管我们对新公理的信心不可能达到对皮亚诺公理的信心,但引进的新公理可以合理地得到辩护。麦蒂则分析了费弗曼青睐自明性公理,对外在辩护的新公理无动于衷的原因。她认为,主要原因是,费弗曼要求被辩护的公理不仅表明理论是有效的,还必须符合某种数学概念。这种数学概念是“某理想世界中的概念,……或多或少

6、直接表达想象的事物”④,因此,在麦蒂看来,费弗曼为公理的辩护实际上最终不是基于自明性,而是某种客观实在。麦蒂自己则更愿意支持外在辩护的新公理,因为它们有助于当代集合论满足各种目标。但她不认为集合论应当揭示数学实体是什么,或在是否需要新公理的问题上提供认识论基础,也不认为集合论显示如何通过显然的步骤,从绝对的某些真理推导出各种数学真理。(二)连续统假设是否是一个真正的问题费弗曼声称连续统假设本质上是模糊的,没有新公理以令人信服的明确方式解决它。原因在于,连续统(或自然数的幂集)是经由自然数的“任意子集”汇集成一个总体得到的概念;解决连续统问题还需要三阶数论上的语句,即需

7、要涉及连续统(实数)的任意子集以及它们之间的可能映射。但“自然数的任意子集”的概念和“实数的任意子集”的概念都是含糊的,因为我们缺少对这些概念的集合直观,“没法用合理的方式表明在不违反这个概念应该是什么的情况下形成这个概念。”⑤因此谈论CH的真假没有意义。另外,CH没有成为千禧年奖金列出的杰出数学问题之一,所以不是一个值得探讨的问题。但是,斯蒂尔认为三阶数论仅仅是语言上的含糊性,这并不代表它本质上就是含糊的。事实上,可以通过提高语言的意义来发现新的真理。最终,解决连续统问题可能就是解决语言上的含糊性。并且一旦澄清了CH在语言中的含糊性,CH在思想中的