第二讲 集合论初步new

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1、第二讲集合论初步1.1.集合的基本概念2.集合集合就是具有某种特点的对象的全体,其中每一个对象称为这个集合的元素。例如：清华大学的全体学生可以构成一个集合，每一个清华大学的学生就是这个集合中的一个元素；同样，首都经济贸易大学的全体学生也可以构成一个集合。通常用大写的英文字母：ABC,,,来代表集合,用小写的英文字母:abc,,,来代表集合中的元素。如果a是集合A中的元素，称a属于A，并记作aAÎ；如果a不是集合A中的元素，称a不属于A，并记作aAÏ3.集合的表示集合有多种表示方法。这里介绍两种常用的表示方法。枚举法：这种表示方法是把集合中的所有元素一一列举出

2、来，元素间用逗号分开，并用花括号括起来。如集合A中含有5个元素：2,4,6,8,10。用枚举法可把集合A表示成:A={}2,4,6,8,10，又如B={}a,e,i,o,u表明集合B中有5个元素：aeiou,,,,。根据以上集合的表示，我们有2,ÎÏA3A；以及eBÎÏ,bB条件限定法：集合A={}2,4,6,8,10可以表示为Ax={}xΣ£II,2x10orAxx={}:Σ£,2x10其中I是整数集。不过人们更习惯于将其表示为：Ax=Σ£{}I21x0括号中竖线表示左边的项“x∈I”给出所定义集合元素取自那个集合，竖线表示右边的项“2≤x≤10”表示应

3、当满足的条件。这是一种从已知集合得到新集合定义的方法。例如：N={0,1,2,3,}为自然数的集合。由此集合我们可以定义正整数集合：+IN=ι{}xx0负整数集合：-+II=-Î{}xx整数集合：+-II=Î{}xxorxÎIorx=0-INI=Î{}xxorxÎ有理数集合：ìüïïxïïQI==íýqqandxy,,0ιyïïyïïîþ（0,1）开区间的实数集：R=Î{}0.xx12xkkxx12,,,,x{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}E3.1.集合间的关系B包含：A，B是集合。如果AxÎA必有xÎB<图1-1>称“A含于B”或“B包

4、含A”，记作ABÌ图1-1-A给出了“A含于B”的示意。这种示意集合关系的图称为“文氏图”。在上面的文氏图中，E为所论问题的全集，也即A和B的元素均取自于E。显然有AaÌÌEEndB相等：A，B是集合。A=B，如果ABÌ并且BAÌ。A=B，那么A和B就元素完全相同。AB3.2.集合运算AÈB3.2.1.集合运算<图1-2-A>并运算：集合1.AÈ=Bx{}xAoÎrxBÎAAÇBB称为A和B的并。交运算：集合2.AÈ=B{}xxÎAandxÎB<图1-1-B>称为A和B的交。差运算：集合AB3.A-=Bx{}xAaÎndxBÏ称为A和B的差。在实际问题中，集合的

5、元素总是限制在一定的范A-B围内的。例如数论的研究对象是整数。在这种情况下，全体整数组成的集合是全集。<图1-1-C>全集通常用大写英文字母E表示。假定A的元素取自于E，也即AÌEAA的补集就定义为E中不属于A的元素。补集：A是元素取自于E的集合，AA=ÎÏ{}xxAE为A的补集。图1-2给出了集合并、交、差和补运算的文氏图。<图1-2-D>4.基本运算律结合律：AÈÈ=ÈÈ=ÈÈBCABCABC()()AÇÇ=ÇÇ=ÇÇBCABCABC()()交换律：AÈ=ÈBBAABBAÇ=Ç分配律：AÇÈ=ÇÈÇ()BC()ABAC()AÈÇ=ÈÇÈ()BC()ABAC(

6、)De.Morgan律（逆律-否定律）：AÈ=ÇBABAÇ=ÈBAB差性质：A-=ÇBAB基本运算律的证明A是集合，PxA:Îx就是命题。x是A的元素PT=，否则PF=。xx我们来看AÈB的定义：ABxxAxBÈ={}ÎÎ={}xPxÎÎAxPB同样ABxxAxBÇ={}ÎÎ={}xPxÎÎAxPB例1：证明以下结合律AÈÈ=ÈÈ=ÈÈBCABCABC()()证明：根据并运算的定义，()ABCxPÈÈ={}()xÎÎÎAxPBxPC而由布尔运算的结合律，()PPPPPP=()xÎÎÎÎÎÎAxBxCxAxBxC因此(ABCxPÈÈ=){}()

7、xAÎÎÎPxBPxC={}xPxAÎÎÎ()PxBPxC也即()ABCxPÈÈ={}xAÎÎÎ()PxBPxC根据并运算的定义，{}xPPPAxAÎÎÎ=()xBxCÈÈ(BC)因此()AÈÈ=ÈÈBCABC()证毕。例2：证明以下分配律AÇÈ=ÇÈÇ()BC()ABAC()证明：根据集合并交运算的定义，AÇÈ=ÎÎÎ(BC){}xxAxBxC()以上xÎÎÎAxBxC,,均为命题，而xÎÎÎAxBxC()是复合命题。根据布尔运算且对或的分配律，xÎÎÎ=ÎÎÎÎAxBxCxAxBxAxC()()()这样ABCxxAxBxCÇ

8、È=(){}ÎÎÎ(