本篇由集合论初步

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1、第二篇集合论本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间是一个内容关联的整体。第四章集合论初步集合论是数学的基础，也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握：集合中的一个基本概念集合中的两种关系集合中的三种特殊集合集合中的四种表示方法集合中的五种运算集合中的21个常用公式§4.1集合论基本概念（1）一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。（2）集合中的两个关系集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，AB。集合与元素间的隶属关系：aA，aA。（3）三种特殊的集合空集

2、全集E幂集（A）。（4）集合的四种表示法：枚举法。即将集合元素一一列举。例：{1,2,3,…}特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例：{x

3、p(x)}图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例：S＝A∪（B∩C）AAB（5）集合的五种运算：交运算：A∩B倂运算：A∪B差运算：A－B补运算：～A对称差运算：A＋B（6）集合的21个公式：交换律：A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪CA∩（B∩C）＝（A∩B）∩C分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）同

4、一律：A∪＝AA∩E＝A零一律：A∪E＝EA∩＝互补律：A∪～A＝EA∩～A＝双补律：～（～A）＝AE与的互补：～E＝～＝E等幂律：A∪A＝AA∩A＝A吸收律：A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A狄·莫根定律：～（A∪B）＝～A∩～B～（A∩B）＝～A∪～B§4.5有限集与无限集（1）有限集与无限集的基本概念有限集的两个定义集合S与Nn一一对应非无限集即为有限集无限集的两个定义S与一一对应函数f：SS使得：f(S)SS存在与其等势的真子集（2）有限集有限集的基数——有限集元素个数有限集的计数——计算有限集中元素个数有限集计数的四种方法：

5、A∪B

6、＝

7、A

8、

9、+

10、B

11、

12、A∪B

13、＝

14、A

15、+

16、B

17、－

18、A∩B

19、

20、A∪B∪C

21、＝

22、A

23、+

24、B

25、+

26、C

27、－

28、A∩B

29、－

30、A∩C

31、－

32、B∩C

33、+

34、A∩B∩C

35、

36、S1∪S2∪…∪Sn

37、＝∑

38、Si

39、－∑

40、Si∩Sj

41、＋∑

42、Si∩Sj∩Sk

43、（－1）∑

44、S1∩S2∩…∩Sn

45、ni=11≤i＜j≤n1≤i＜j＜k≤n无限集（3）四个常用的无限集：自然数集N整数集I有理数集Q实数集R（4）无限集的势（5）无限集分类（按势分类）自然数集可列集——基数为0整数集无限集实数集——基数为有理数集更大基数的集——（A）幂集、n元有序组与笛卡尔乘积（7）幂集幂集定义：集合A的所有子集所组成的集合，可记为（A）

46、。幂集性质：

47、A

48、＝n则

49、(A)

50、＝2n（8）n元有序组与笛卡尔乘积n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。基本概念之一：有序偶。例：（a,b）基本概念之二：n元有序组。例：（a1,a2,…an）基本运算：笛卡尔乘积。例：AB第五章关系关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有：一个基本概念两种表示方法三种运算九个公式五种性质六种常用关系§5.1关系基本概念（1）一个主要的概念——二元关系的基本概念：关系定义：从集合A到B的关系R是A×B的一个子集。（2）两种表示方法：集合表示法：有序偶的集合图表示法：有向图§5.

51、2关系运算（3）两种运算：关系的复合运算关系的逆运算（4）有关运算的五个公式：复合运算的公式：(RS)T＝R(ST)RmRn＝Rm+n(Rm)n＝Rmn逆运算的公式：R＝R(RS)＝RS～～～§5.3关系重要性质（5）关系的五种性质关系的自反性关系的反自反性关系的对称性关系的反对称性关系的传递性（6）六种常用关系次序关系之一：偏序关系次序关系之二：拟序关系次序关系之三：线性次序关系次序关系之四：字典次序关系相容关系等价关系§5.4闭包运算（1）关系的闭包运算自反闭包r(R)对称闭包s(R）传递闭包t(R）（2）闭包的公式：r（R）＝R∪s（R）＝R∪

52、Rt（R）＝∪Ri～i=1§5.5次序关系（7）次序关系四个定义：偏序关系：X上自反、反对称与传递的关系称偏序关系并用‘≤’表示。拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘<’表示。线性次序关系：X上偏序关系R如有x,yx必有x≤y或y≤x则称R是X上线性次序关系。字典次序关系：有限字母表∑上的偏序关系。如建立∑＊上的次序关系：设x=x1,x2,…xn,y=y1,y2,…ym；x,y*；x1,x2