集合论与图论2new

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1、第2讲集合的概念与运算1.集合的概念2.集合之间的关系3.集合的运算4.文氏图,容斥原理1《集合论与图论》第2讲2009-9-11集合论(settheory)十九世纪数学最伟大成就之一集合论体系–朴素(naive)集合论–公理(axiomatic)集合论创始人康托(Cantor)GeorgFerdinandPhilipCantor1845~1918,德国数学家2《集合论与图论》第2讲2009-9-11什么是集合(set)集合:在朴素集合论中不能精确定义–在公理集合论中通过公理来定义一些对象的整体就构成集合–用大写英文字母A,B,C,…表示集合这些对象称为元素(

2、element)或成员(member)–用小写英文字母a,b,c,…表示元素3《集合论与图论》第2讲2009-9-11属于(…isin…)aA:表示a是A的元素，读作“a属于A”aA:表示a不是A的元素，读作“a不属于A”4《集合论与图论》第2讲2009-9-11集合的表示列举法描述法特征函数法文氏图5《集合论与图论》第2讲2009-9-11列举法列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如A={a,b,c,d,…,x,y,z}B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}集合中的元素不规定顺序C={2,1}={1,2}集合中的元素各不

3、相同(多重集除外)C={2,1,1,2}={2,1}6《集合论与图论》第2讲2009-9-11多重集(multipleset)多重集:允许元素多次重复出现的集合元素的重复度:元素的出现次数(0).例如:设A={a,a,b,b,c}是多重集元素a,b的重复度是2元素c的重复度是1元素d的重复度是07《集合论与图论》第2讲2009-9-11描述法用谓词P(x)表示x具有性质P，用{x

4、P(x)}表示具有性质P的集合，例如P1(x):x是英文字母A={x

5、P1(x)}={x

6、x是英文字母}={a,b,c,d,…,x,y,z}P2(x):x是十进制数字B={x

7、P2(x)}

8、={x

9、x是十进制数字}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}8《集合论与图论》第2讲2009-9-11描述法（续）两种表示法可以互相转化，例如E={2,4,6,8,…}={x

10、x>0且x是偶数}={x

11、x=2(k+1)，k为非负整数}={2(k+1)

12、k为非负整数}有些书在描述法中用:代替

13、,例如{2(k+1):k为非负整数}9《集合论与图论》第2讲2009-9-11特征函数法集合A的特征函数是A(x):1，若xAA(x)=0，若xA对多重集,A(x)=x在A中的重复度10《集合论与图论》第2讲2009-9-11常用的数集合N：自然数(naturaln

14、umbers)集合N={0,1,2,3,…}Z：整数(integers)集合Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}Q：有理数(rationalnumbers)集合R：实数(realnumbers)集合C：复数(complexnumbers)集合11《集合论与图论》第2讲2009-9-11集合之间的关系子集、相等、真子集空集、全集幂集、n元集、有限集集族12《集合论与图论》第2讲2009-9-11子集(subset)B包含于A,A包含BBAx(xBxA)B不是A的子集BAx(xBxA)13《集合论与图论》第2讲20

15、09-9-11证明BAx(xBxA)BA(BA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)14《集合论与图论》第2讲2009-9-11相等(equal)相等:A=BABBAx(xAxB)15《集合论与图论》第2讲2009-9-11包含()的性质AA若AB,且AB,则BA若AB,且BC,则AC16《集合论与图论》第2讲2009-9-11真子集(propersubset)真子集:B真包含A:ABABAB17《集合论与图论》第2讲2009-9-11

16、真包含()的性质AA若AB,则BA若AB,且BC,则AC18《集合论与图论》第2讲2009-9-11空集(emptyset)空集:没有任何元素的集合是空集,记作例如{xR

17、x2+1=0}19《集合论与图论》第2讲2009-9-11定理1定理1:对任意集合A,A证明:Ax(xxA)x(0xA)1.#推论:空集是唯一的.证明:设1与2都是空集,则12211=2.#20《集合论与图论》第2讲2009-