求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法

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1、第３１卷第３期广东第二师范学院学报Ｖｏｌ．３１Ｎｏ．３２０１１年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎＪｕｎ．２０１１求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法李华刚１，石智伟２（１．广东第二师范学院物理系，广东广州５１０３０３；２．广东工业大学信息工程学院，广东广州５１０００６）摘要：非线性偏微分方程数值求解在物理和数学上是一项基础工作．通过应用傅立叶变换得到一种原理简单、收敛快速的迭代方法．这种迭代方法易于学生掌握和使用，能应用在ｍａｔｌａｂ程序设计、数值分析、计算机辅助教学等课程教学中，有助于学生初步掌握非

2、线性偏微分方程迭代求解方法的学习．关键词：非线性偏微分方程；傅立叶变换；数值解中图分类号：Ｏ１７５文献标识码：Ａ文章编号：１００７－８７５４（２０１１）０３－００４４－０４随着计算机性能的提高，许多非线性领域本身得到快速发展，非线性问题在许多领域成为数学、物理及［１－４］其应用上的研究热点．非线性偏微分方程一般不存在解析解，因此数值求解成为有力的研究工具．非线性偏微分方程的求解方法有许多，比如多重网格法、牛顿迭代法和牛顿法的改进方法等．多重网格法原理简单，但是需要仔细调整试探解．牛顿迭代法和牛顿法的改进方法收敛速度比较快，但是需要具有线性代数的理论基

3、础．通过应用傅立叶变换，我们得到一种原理简单，收敛速度快的迭代方法．对于初学的学生，这是一个非常好的迭代方法，易于被学生掌握和应用．这种迭代方法能应用在ｍａｔｌａｂ程序设计、数值分析、计算机辅助教学等课程教学中．１方法原理傅立叶变换可将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式：∞－ｉωｘＦ（ω）＝ｆ（ｘ）ｅｄｘ，（１）∫－∞傅立叶变换的逆变换为：∞ｉωｘｆ（ｘ）＝Ｆ（ω）ｅｄω．（２）∫－∞以非线性薛定谔方程为例，非线性薛定谔方程在（１＋１）维可写为：２ｄｕｉｕ２＝２＋ｉ｜ｕ｜ｕ，（３）ｄｚ２ｘ其中ｕ表示波函数，ｚ为传输方向、ｘ为横向坐标．

4、边界条件是ｕ（ｘ）在无穷远处为零．假设其解的形式为收稿日期：２０１０－１２－２６作者简介：李华刚，男，河北吴桥人，广东第二师范学院物理系讲师．２０１１年第３期李华刚，等：求解非线性偏微分方程的傅里叶变换方法·４５·ｉβｚ，即空间光孤子解［５］，方程（３）可化为ｕ（ｘ，ｚ）＝ＮＵ（ｘ）ｅ２１Ｕ２２－βＵ＋２＋Ｎ｜Ｕ｜Ｕ＝０，（４）２ｘ其中β为空间光孤子的传播常数，Ｎ为空间光孤子振幅和Ｕ（ｘ）的振幅为１．方程（４）应用傅立叶变换的微分性质，可得∞２（｜Ｕ｜２－ｉωｘＮＵ）ｅｄｘ∫－∞，（５）Ｆ（ω）＝２ωβ＋２∞∞２［（Ｎ２（｜Ｕ｜２Ｕ）ｅ－ｉωｘｄ

5、ｘ－ωＦ（ω）］ｅｉωｘｄω∫－∞∫－∞２ｂ（ｘ）＝，（６）Ｕ其中Ｆ（ω）为Ｕ（ｘ）的傅立叶变换，ｂ（ｘ）是Ｕ（ｘ）在横向上各点的传播常数．因为傅立叶变换默认的边界条件是Ｕ（ｘ）在无穷远处为零与方程（４）的边界条件相同，所以方程的边界条件可以不用设置．试探解的ｂ（ｘ）不是常数即横向各点不相同，迭代的过程就是使ｂ（ｘ）为一常数即函数是一条直线，同时空间光孤子的波形Ｕ（ｘ）趋向稳定解．所以我们在迭代过程中令β＝ｂ珔，ｂ珔为ｂ（ｘ）的平均值．２数值模拟－ｘ２／２设试探解为高斯函数Ｕ＝Ｎｅ．首先模拟Ｎ＝１的解，即基本空间光孤子解．这种情况的解析解为Ｕ（ｘ）＝

6、ｓｅｃｈ（ｘ），β＝１／２．图１为解析解和数值解的对照图，从图上可以明显看出两条曲线完全重合，即数值解为正确的解（数值模拟程序见附录）．图１（ａ）解析解和数值解对照图；（ｂ）横向上各点的传播常数ｂ（ｘ）；（ｃ）迭代次数与误差变化其次，数值模拟Ｎ＞１的解，即基态孤子解的其他形式．此时的解析解为Ｕ（ｘ）＝Ｎｓｅｃｈ（Ｎｘ），β＝２／２，图２显示孤子解与解析解相吻合，传播常数也与解析解的传播常数相一致．Ｎ·４６·广东第二师范学院学报第３１卷图２（ａ）和（ｃ）归一化解析解和数值解对照图，其中（ａ）为Ｎ＝１．５，（ｃ）为Ｎ＝２．５；（ｂ）和（ｄ）横向上各点的传

7、播常数ｂ（ｘ）综上所述，我们应用傅立叶变换得到了一种比较简单的迭代方法，数值模拟结果显示其能快速的收敛，与解析解相一致．对于初学的学生，这是一个非常好的一种迭代方法，易于学生掌握和应用．参考文献：［１］ＴＩＳＳＥＵＲＦ，ＭＥＥＲＢＥＲＧＥＮＫ．Ｔｈｅｑｕａｄｒａｔｉｃｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭＲｅｖｉｅｗ，２００１，４３（２）：２３５－２８６．［２］ＧＯＬＵＢＧＨ，ＶＡＮＤＥＲＶＯＲＳＴＨＡ．Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｉｎｔｈｅ２０ｔｈｃｅｎｔｕｒｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｎｄＡｐ

8、ｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０００，１２３：３５－６５．［３］ＫＡＴＺＯ，ＬＡＨＩＮＩＹ，ＳＩＬＢＥ