求解偏微分方程的径向基函数方法

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1、东北大学硕士学位论文求解偏微分方程的径向基函数方法姓名:李明辉申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:张铁2002.12.1东北大学硕士学位论文摘要求解偏微分方程的径向基函数方法摘要径向基函数插值方法以其计算格式简单,节点配置灵活,精度高的特点而成为研究多元逼近理论的有利工具,并应用于科学计算和工程上,使用这种方法的关键在于选取适当的径向基函数。阜本文首先介绍了求解偏微分方程数值解的几种方法,并进一步阐述了插值法的基本思想。其次,本文详细讨论了径向基函数插值法的一些问题。在这一部分里,首先介绍了径向基函数插值法,并说明插值问题是可解的。而后对插值问题的误差进行估计

2、,给出了空间中的逼近理论及对一般径向基函数的推广。在此基础上,提出了对插值问题误差界的改善,使得逼近阶数提高为原来的倍。通过对径向基函数插值法的一些问题讨论,本文又介绍了运用径向基函数求解偏微分方程的方法,并给出了近似解的误差估计。然后,本文又对椭圆方程及抛物方程进行了数值计算,并通过改变径向基函数中的参数对计算结果进行了分析。最后,本文又提出了一些需要进~步研究的问题。关键词:径向基函数;偏微分方程,、插值逼近;数值方法蔓苎堂堡圭主堡垒查垒呈堡垒里:,...,,,.,.,,,.,,.,,,.,.:,,,声尸明明本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中

3、取得的磷究裁果除翔以标注嗣致谢的墟方外,不包含冀毽入已经发表或撰写过的研究成果,也不包括本人为获譬其他学位丽使用逑的材料。,我?同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。本人签名:季转簿咎日期:≯蛳多.,.参东北大学硕士学位论文第一章绪论绪第一章论.偏微分方程数值解法..有限元法有限元方法已成为当前求偏微分方程数值解的一个重要方法。它在数学上属于变分方法的范畴,是古典变分方法.方法与分块多项式插值结合的产物,这种结合不仅使有限元方法保持了原有变分方法的优点,而且还兼有差分方法的灵活性,使古典变分方法的不足之处得到了充分地弥补。有限元法的

4、基本问题可归纳如下:把问题转化成变分形式;选定单元的形状,对求解域作剖分;构造基函数或单元形状函数;形成有限元方程;提供有限元方程的有效解法;收敛性及误差估计。..有限差分法有限差分法是求微分方程数值解最常用的方法,尤其对发展方程抛物型、双曲型方程等的数值解,常常可以构造出精度高、分辨率高的算法,因而得到广泛的应用。有限差分法的基本问题可归纳如下:对求解域作网格剖分;构造逼近微分方程定解问题的差分格式:差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性的研究:、差分方程的解法。蔓堕堂堡主堂堡笙查整二主竺堕..配置法配置法最初是散乱数据插值的一种方法,而径向基函数方法正是这样的一种方

5、法,他具有计算格式简单,节点配置灵活,计算工作量小等优点,越来越引起人们的注意,应用面不断拓宽,当然它也成为解偏微分方程的一个有效的方法。.函数的插值函数是用来表示某种内在规律的数量关系,但在实际问题中遇到的函数,有许多不能给出精确的表达式,例如由实验或测量仅能得到函数在一系列点‰,,?,。上的值,。,儿,?,。,这样就给计算和分析带来了一定的困难,于是人们希望由这些数据构造出函数的一种简单的近似表达式,使其既能反映的特性又便于计算,插值方法就是寻求函数近似表达式的一种方法。有了插值法,我们就可以用该方法来估计数据,更重要的是很多数值微分和积分的方法就是通过先应用插

6、值法构造出一个逼近函数,然后再微分或积分其结果而推导出来的。对插值法的基本问题阐述如下:给出一组数据点。,,,?,,要构造出一平滑曲线,使其通过这些数据点,对插值曲线应有如下要求:,,,,,?,;函数容易定值;容易进行微分和积分;有线性可调参数以简化寻求参数问题。插值函数的选择不仅取决于平滑性,而且取决于被逼近的函数。本文将介绍用径向基函数插值法求微分方程数值解。苎型生∑兰翌三生坠查笙三主堡鱼垄墨墼塑堡查鲞第二章径向基函数插值方法.径向基函数插值法径向基函数插值法是多元逼近理论中一个有利工具,它可以看作是样条函数在多维问题上的推广。下面即为对径向基函数插值方法的描述

7、。对于∈月”,≥,,,?,Ⅳ∈为互不相同的点,是一个由径向基函数。,:,?,。生成的函数空间,记为中,①,?,巾Ⅳ,求在中的插值逼近:Ⅳ∑小∈民,】使满足:,,?,‰设≯¨,则,,?,中,。一妒那么,,矽?,矿:,?,矿?。记中,。。,,则插值问题的向量形式为虚尹.插值问题可解性定义.设函数中:“,若对所有由互不相同元素,组成的集合工。,,?,Ⅳ∈月”及所有的口∈露”满足:,,∈“∑口,』塑苎堂竺主兰堡垒查苎三主堡鱼墨鱼垫塑竺主兰、出艺口。厂,,则称函数巾为阶条件正定义的,零阶条件正定义的函数称为正定义的函数。事实上,『定义的概念有另一种表达式。定义设函数:”