非线性规划问题的求解方法

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1、第六讲非线性规划问题的求解方法一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法（外点法）基本思想：利用目标函数和约束函数构造辅助函数：要求构造的函数具有这样的性质：当点x位于可行域以外时，取值很大，而离可行域越远则越大；当点在可行域内时，函数因此可以将前面的有约束规划问题转换为下列无约束规划模型：其中称为罚项，称为罚因子，称为罚函数。的定义一般如下：函数一般定义如下：算法步骤如何将此算法模块化:求解非线性规划模型例子罚项函数：无约束规划目标函数：globallamada%主程序main2.m,罚函数方法x0=[11];lamada=2;c=10;e=1e-5;k=1;whilelamad

2、a*fun2p(x0)>=ex0=fminsearch('fun2min',x0);lamada=c*lamada;k=k+1;enddisp(‘最优解’),disp(x0)disp('k='),disp(k)程序1：主程序main2.m程序2：计算的函数fun2p.mfunctionr=fun2p(x)%罚项函数r=((x(1)-1)^3-x(2)*x(2))^2;程序3：辅助函数程序fun2min.mfunctionr=fun2min(x)%辅助函数globallamadar=x(1)^2+x(2)^2+lamada*fun2p(x);运行输出：最优解1.000128150991

3、65-0.00000145071779k=33练习题：1、用外点法求解下列模型2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数法程序。（考虑要提供哪些参数）2.内点法（障碍函数法）仅适合于不等式约束的最优化问题其中都是连续函数，将模型的定义域记为构造辅助函数为了保持迭代点含于可行域内部，我们定义障碍函数3.问题转化为一个无约束规划由于很小，则函数取值接近于f(x)，所以原问题可以归结为如下规划问题的近似解：练习题：请用内点法算法求解下列问题：小结讲解了两个求解有约束非线性最小化规划特点：易于实现，方法简单；没有用到目标函数的导数问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）4、其它求解算法（1）

4、间接法（2）直接法直接搜索法以梯度法为基础的间接法无约束规划的Matlab求解函数数学建模案例分析（截断切割，飞机排队）（1）间接法在非线性最优化问题当中，如果目标函数能以解析函数表示，可行域由不等式约束确定，则可以利用目标函数和可行域的已知性质，在理论上推导出目标函数为最优值的必要条件，这种方法就称为间接法（也称为解析法）。一般要用到目标函数的导数。（2）直接法直接法是一种数值方法这种方法的基本思想是迭代，通过迭代产生一个点序列{X(k)}，使之逐步接近最优点。只用到目标函数。如黄金分割法、Fibonacci、随机搜索法。（3）迭代法一般步骤注意：数值求解最优化问题的计算效率取决

5、于确定搜索方向P(k)和步长的效率。最速下降法（steepestdescentmethod）由法国数学家Cauchy于1847年首先提出。在每次迭代中，沿最速下降方向（负梯度方向）进行搜索，每步沿负梯度方向取最优步长，因此这种方法称为最优梯度法。特点：方法简单，只以一阶梯度的信息确定下一步的搜索方向，收敛速度慢；越是接近极值点，收敛越慢；它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。该法一般用于最优化开始的几步搜索。以梯度法为基础的最优化方法求f(x)在En中的极小点思想：方向导数是反映函数值沿某一方向的变化率问题方向导数沿梯度方向取得最大值基础：方向导数、梯度通过一系列一维搜索来实现

6、。本方法的核心问题是选择搜索方向。搜索方向的不同则形成不同的最优化方法。最速下降法算法：算法说明可通过一维无约束搜索方法求解例子：用最速下降法解下列问题分析：1、编写一个梯度函数程序fun1gra.m2、求(可以调用函数fminsearch)函数fungetlamada.m3、最速下降法主程序main1.m初始条件第一步：计算梯度程序fun1gra.mfunctionr=fun1gra(x)%最速下降法求解示例%函数f(x)=2*x1^2+x2^2的梯度的计算%r(1)=4*x(1);r(2)=2*x(2);第二步：求最优的目标函数functionr=fungetlamada(lam

7、ada)%关于lamada的一元函数，求最优步长globalx0d=fun1gra(x0);r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)-lamada*d(2))^2;%注意负号表示是负梯度第三步：主程序main1.m%最速下降方法实现一个非线性最优化问题%minf(x)=2*x1^2+x2^2globalx0x0=[11];yefi=0.0001;k=1;d=-fun1gra(x0);lamada=1;主程序main1.m（续）whi