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1、等差数列的前n项和1.等差数列的定义：2.通项公式：3.重要性质:复习高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数
2、第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5
3、+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？新课等差数列的前n项和公式公式1公式2公式记忆——类比梯形面积公式记忆结论：知三求二思考：(2)在等差数列中，如果已知五个元素中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?(1)两个求和公式有何异同点？例1、注：本题体现了方程的思想.解：举例例2、解：又解：整体运算的思想!变式训练：解：等差数列前n项和公式的函数特征：(3)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1)；②若共有2n+1项，则S2
4、n+1=(2n+1)an+1；S偶-S奇=－an+1；(1)“片段和”性质.若{an}为等差数列，前k项和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k－S2k,…构成公差为k2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.规律总结：【解析】设数列{an}的公差为d，则∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an＜0,得3n-63＜0，即n＜21.当n=21时，a21=0.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{
5、an
6、}的前n项之和，当n≤
7、20时，Sn′=
8、a1
9、+
10、a2
11、+…+
12、an
13、=-a1-a2-…-an当n＞20时，Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20∴数列{
14、an
15、}的前n项和变式训练：等差数列{an}的前n项和求数列{
16、an
17、}的前n项和Tn.数列{
18、an
19、}的前n项和的四种类型及其求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{
20、an
21、}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3
22、)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.(4)等差数列{an}的各项均为负数，则{
23、an
24、}的前n项和为{an}前n项和的相反数.规律总结变式训练：课时作业十41、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.等差数列前n
25、项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)等差数列奇，偶项和问题求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：①(裂项相消法)；；求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：求数列前n项和方法之二：公式单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利和=本金×（1+利率×存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000×（1+0.725×1）10072第二
26、年1000010000×（1+0.725×2）10144第三年1000010000×（1+0.725×3）10216第四年1000010000×（1+0.725×4）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金×（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000×（1+1.98
