确定不等式恒成立问题中参数范围的策略-论文.pdf

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1、２０１４年第４期中学数学月刊·５９·确定不等式恒成立问题中参数范围的策略洪兵（江苏省沭阳如东中学２２３６００）不等式恒成立求参数范围问题在近几年高实数狋的取值范围．考以及各类考试中经常出现，且形式灵活，思维性解析本题不等式中有三个变量，因此可以强，知识交汇点多，往往与函数、数列、方程、几何通过消元转化的策略，先消去一个变量．结合条件有机结合起来，难度系数较大．归纳总结这类问题容易证明犳（狓）是定义在［－１，１］上的增函数，故的求解策略，有助于提高学生的分析和解决问题犳（狓）在［－１，１］上的最大值为

2、犳（１）＝１，则犳（狓）的能力．本文结合示例谈谈这类问题的求解策略．２≤狋－２犪狋＋１对于所有的狓∈［－１，１］，犪∈［－１，１］恒成立１≤狋２１变量分离法———目标明确－２犪狋＋１对于所有的犪将所求变量与其他变量分离开，通过研究式２∈［－１，１］恒成立，即２狋犪－狋≤０对于所有的犪中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范２，只要∈［－１，１］恒成立．令犵（犪）＝２狋犪－狋围．若所求变量为犪，则根据犪＞犳（狓）恒成立犵（－１）≤０，｛解得狋≤－２或狋≥２或狋＝０．犪＞犳（狓）ｍａｘ；犪＜犳（狓

3、）恒成立犪＜犳（狓）ｍｉｎ，成犵（１）≤０，功转化为求解函数的最值，解题目标就非常明确．点评对于含有两个以上变量的不等式恒例１已知二次函数犳（狓）＝犪狓２成立问题，可以根据题意依次进行消元，转化为只＋狓（犪∈犚，犪≠０），若狓∈［０，１］时，总有狘犳（狓）狘≤１，试求含有两个变量的不等式问题．犪的取值范围．３构造函数法———挖掘特征解析当狓＝０时，狘犳（０）狘＝０＜１恒成立．构造适当的函数是解决不等式恒成立问题的当狓∈（０，１］时，狘犪狓２主要方法之一，然后利用相关函数的图象和性质＋狓狘≤１即烄１

4、１解决问题．在含多个变量的数学问题中，需要确定２犪≤２－，犪狓＋狓≤１，狓狓１合适的变量和参数，以揭示函数关系，使问题的本可化为烅令｛犪狓２＋狓≥－１，１１狓质更加清晰明了．犪≥－（狓２＋狓）．烆例３关于狓的不等式狓３２＋犿狓＞２ｅ狓＋＝狋，因为狓∈（０，１］，所以狋∈［１，＋∞），即当狋∈ｌｎ狓恒成立，则实数犿的取值范围．２［１，＋∞）时恒有犪≤狋－狋，因为狋∈［１，思路１将已知不等式转化为狓３＋犿狓－｛犪≥－（狋２．＋狋）２３２２ｅ狓－ｌｎ狓＞０，再求犺（狓）＝狓＋犿狓－２ｅ狓－２２＋∞）时，（

5、狋－狋）ｍｉｎ＝０，［－（狋＋狋）］ｍａｘ＝－２，即ｌｎ狓的最小值．｛犪≤０，又因为犪≠０，故犪∈［－２，０）．思路２将已知不等式转化为狓３－２ｅ狓２－犪≥－２．ｌｎ狓＞－犿狓，注意到狓＞０，可分离变量点评此题通常的解法是利用根的分布对３２狓－２３狓－ｌｎ狓２＞－犿，再求犵（狓）＝－１≤犪狓＋狓≤１进行讨论，解题过程较复杂．将狓参数从恒成立不等式中分离出来，则可避免复杂狓３－２３狓２－ｌｎ狓的最小值．的讨论．狓２变换主元法———降维转化思路３将已知不等式转化为狓３２处理含参不等式恒成立的某些问题时，

6、一般＋犿狓－２ｅ狓＞ｌｎ狓，由于狓＞０，即有狓２来说把已知存在范围的量视为变量，而待求范围－２ｅ狓＋犿的量视为参数，若能适时地把主元变量和参数变ｌｎ狓，构造两函数犺（狓）＝狓２＞量进行“换位”思考，往往会使问题降次简化，从狓而转化为容易解决的问题．－２ｅ狓＋犿与犵（狓）＝ｌｎ狓，发图１狓例２已知犳（狓）是定义在［－１，１］上的奇现犺（狓）有极小值狓＝ｅ，再用导数研究出犵（狓）＝函数，且犳（１）＝１，若犿，狀∈［－１，１］，犿＋狀≠ｌｎ狓有极大值狓＝ｅ．如图１，利用两函数图象位置０时，犳（犿）＋犳（狀

7、）２狓＞０．若犳（狓）≤狋－２犪狋＋１对犿＋狀关系可知犺（ｅ）＞犵（ｅ），就可以求出实数犿的取值于所有的狓∈［－１，１］，犪∈［－１，１］恒成立，求范围．·６０·中学数学月刊２０１４年第４期点评思路１与思路２较麻烦，大多数学生同一坐标系中，根据不等式槡狓（４－狓）≥犪狓的无法完成，思路３较简单，主要是对函数犵（狓）＝几何意义，要使得半圆恒在直线犾的上方（包括相ｌｎ狓图象的研究较为透彻，利用了问题的特殊交），当且仅当犪＜０时才成立，所以犪的取值范围狓为犪＜０．性，即两函数均在狓＝ｅ处取得极值这一特征．

8、点评本题是数形结合思想中的“形”中觅例４设函数犺（狓）＝ｅ狓＋犪－犪狓，且犃（狓１，“数”，“数”上构“形”的充分体现．由表达式结构狓ｅ特征，能让我们联系到用其几何意义去处理．狔１），犅（狓２，狔２）（狓１≠狓２）是函数狔＝犺（狓）上任意５赋值探路法———避免讨论狔１－狔２两点，若对于任意犪≤－１，＞犿，求实数不等式对于给定范围内的任意变量均成立，狓１－狓２有时可通过特值代入缩小讨论的范围，使解题事犿的取值范围．半功倍．狔１－狔２解析当狓２＞狓１时，＞犿变形为例６设函