高中数学中恒成立问题的解题策略-论文.pdf

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1、第11卷第1期读与写杂志2014年1月Vo1．11No．1ReadandWritePeriodicalJanuary2014高中数学中恒成立问题的解题策略沈宏(江苏省常熟市中学江苏常熟215500)中图分类号：G633．6文献标识码：C文章编号：1672—1578(2014)01-0103-01恒成立问题是数学中常见的问题，它能够很好地考察函数、于x的不等式。而在一些恒成立问题中，如果我们将其他参数定不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐，位为主元，则会给解答带来很大的方便。是高考中的热点难点问题。本文就数学中的恒成立问题提供一例4：对于任意的Jmf≤2，函数f

2、(x)=mx2—2x+1—111恒负，求些解题策略。x的取值范围。1转化为二次函数。利用韦达定理、判别式、根的分布加以解解析：令g(m)=，(x)=(x—1)m+l一2x，lmI≤2，则原题转化决为：g(埘)=(x一1)m+l一2x<0在[-2，2]上恒成立。例1：若y=：(m一1)x2+(m一1)x+2，且在R上恒有y>0，求111的财有：-2x<0取值范围。,I~P{解析：①当／11—1=0即m=l时，y=2>0恒成立；解得：一-下l+~-②当m一1≠0即111≠1时，。．y=(m一1)+(111—1)x+2>0在R一

3、元不等式问题求解的关键在于确定哪个变量为主元。本题将m定位主元，即可转化为在卜2，21Gl关于ITI的一次函综上可知：Ill的取值范围为：1≤m<9。数或常值函数小于O恒成立的问题，可避免变量分离过程中的说明：对于二次函数f(x)：++c(a≠0)在实数集R上恒分类讨论，大大简化了解答过程。成立的问题可利用判别式直接求解：4数形结合。通过图象的观察。直观求解即：f(x)>。恒成立甘{；f(x)<。恒成立f。利用数形结合解决恒成立问题时，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在区间上函数与函数图象之间的关系，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，则可利用韦达得出答案或列出条

4、件，求出参数的范围。定理以及根与系数的分布知识求解。例2：不等式sin2x+0c0sx+≥1+COSX对一切xER恒成立，例5：如果不等式—lo<0在(0，})内恒成立，求实数m求负数Ⅱ的取值范围。的取值范围。解析：由题知：cos2x+(1一a)cosx-a2~<0对一切x∈R恒成立。令COSx=t，由X∈R知t∈[一l，1]，设f(t)=+(1一a)f—n，贝0分析：令y=xa，y~=log：，当x∈(0，1)时，的图象恒在y1t)=n(1-a)t—a2<~0在t∈【一1，1】上恒成立。的图象上方。fa

5、o≤一2yf【f(一1)=1一f1一a1—02≤0la≤0或a≥11y=Xl，故所求的Q的范围为(一。。，一21。＼／说明：本题采用了换元思想，从而将问题转化为了二次函数／：＼在指定区间上的恒成立问题。L／12采用变量分离。利用不等式，函数单调性等知识加以解决—1、＼×将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化为形如02IOgmxa--f(x)或Q>f(x)或af(X)在集合A上恒成立§n>f(x)一，X∈A；解：令y】=，y2=log，画出满足条件的Y、图象。a

6、恒成立铮0与>c时，不等式—l_+≥__，恒成立，求m当x(o'有{(1，m≥所以≤脚≤1的最大值。解析：因为a>c，所以111≤(a—c)(—+_l_)=[(Ⅱ一占)+(Jb一所以实数in的取值范围为[亩，1)。说明：本题中的不等式直接求解比较困难，但构造函数后，训[+击]，而『(a-b)m_c)】l1+b-c+借助图象来研究两个函数之间的关系，就很直观，也便于找到正+1≥1+2+1，所以脚≤4，因此111的最大值为4。确答案。b-c恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定说明：本例是“，(x)≥a”类型，通过添项、拆项，

7、借助基本不的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对等式加以解决。问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样才能真3通过主元变换．结合函数单调性等知识，数形结合等思想正提高分析问题和解决问题的能力。加以解决由于常见的思维定势，学生们习惯把多元不等式看成是关——103——