线性互补问题与绝对值方程的转化.pdf

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1、第52卷第4期吉林大学学报(理学版)V0I．52NO．42014年7月Journa1ofJilinUniversity(ScienceEdition)July2014线性互补问题与绝对值方程的转化雍龙泉，刘三阳，拓守恒。，邓方安，高凯(1．西安电子科技大学数学与统计学院，西安710071；2．陕西理工学院数学与计算机科学学院，陕西汉中723001)摘要：给出线性互补问题与绝对值方程解存在的条件及线性互补问题与绝对值方程间的转化：包括无条件的转化和有条件的转化，并给出了线性互补问题与绝对值方程的求解方法．关键词i线性互补问题；绝对值方程；正定矩阵；特征值中图

2、分类号：O221文献标志码：A文章编号：1671—5489【2014)04—0682-05TransformationofLinearComplementarityProblemandAbsoluteValueEquationYONGLongquan，LIUSanyang，TUOShouheng。，DENGFang’an，GAOKai(1．SchoolofMathematicsandStatistics，XidianUniversity，Xi’an710071，China；2．SchoolofMathematicsandComputerScience，Sh

3、aanxiUniversityofTechnology，Hanzhong723001，ShaanxiProvince，China)Abstract：Theconditionsoftheexistenceofthesolutionsoflinearcomplementarityproblemandabsolutevalueequationweregiven．Thetransformationsbetweenlinearcomplementarityproblemandabsolutevalueequationwerestudied，includingunco

4、nditionalandconditionaltransformations．Theideaofsolvinglinearcomplementarityproblemorabsolutevalueequationwaspresented．Keywords：linearcomplementarityproblem；absolutevalueequation；positivedefinitematrix；eigenvalue线性互补问题(1inearcomplementarityproblem，LCP)是一类应用广泛的优化问题，它为线性规划和二次规划提供了统一

5、的研究框架，因此求解线性互补问题的有效算法备受关注_l]．对线性互补问题的研究，目前主要集中在理论与算法两方面，前者主要研究其解的存在性、唯一性、稳定性和灵敏度分析，后者主要建立其有效的求解方法和相应的收敛性分析．求解线性互补问题的算法有很多，经典的有Lemke算法；近年来(针对单调线性互补)出现了一些具有多项式复杂性的算法，如投影法、内点法、非光滑牛顿法、光滑牛顿法和迭代法等。]．绝对值方程(absolutevalueequation，AVE)等价于一个不可微的NP难优化问题．目前对于绝对值方程的研究主要集中于其解的存在性和唯一性以及建立有效的算法并进行

6、相应的收敛性分析_8。．本文研究线性互补问题与绝对值方程之间的内在关系，给出了二者的等价转化，并进行了证明．本文用J表示单位矩阵，ll·ll表示2范数，上表示两个向量正交：即VH，'，∈，lll'，eUT一0．收稿日期：2013-09—22．作者简介：雍龙泉(198O一)，男，汉族，博士研究生，副教授，从事最优化理论与算法的研究，E—mail：yonglongquan@126．com．基金项目：国家自然科学基金(批准号：61373174；60974082)、陕西省教育厅科研项目(批准号：12JK0863；llJK1066)、西安电子科技大学研究生创新项目(

7、批准号：K50513100004)和陕西省汉中市科技局科研项目(批准号：2013hzzx一39)．第4期雍龙泉，等：线性互补问题与绝对值方程的转化6831预备知识定义1如果对VzE，都有zTMz≥0，则矩阵M∈称为半正定矩阵；如果对VzE”，z：／=O，都有zMz>O，则M称为正定矩阵．这里定义的半正定矩阵与正定矩阵不限制对称性．线性互补问题即求向量zE，满足Mz+q>jO，z>jO，z(Mz+q)一0，简记为LCP(M，q)．当矩阵M是半正定矩阵时，LCP(M，口)称为单调线性互补问题[1．引理1_5设矩阵ME”为一半正定矩阵，对于任意的口∈”，若LCP

8、(M，g)是可行的，则LCP(M，口)必有解，且其解集为凸集．引理