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1、递推数列求通项题型分类归纳解析类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。解由得则所以类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知，，求。解：。变式:已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3:已知数列中,,,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列
2、,即,变式:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例4:已知，，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。类型5递推公式为与的关系式
3、。(或)解法：利用例5：已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.求数列的通项公式；变式：已知数列满足：.求数列的通项公式；类型6解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例6：已知，，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。变式：设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴类型7解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例7：（1）已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得:,,是以为首
4、项,公差为2的等差数列.,.（2）已知，，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。变式:已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；解：an=（n³1）类型8周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例8：若数列满足，若，则的值为___________。变式:已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．练习1．已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.,,=1+++=.2．设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为
5、：()(n+1),即时，==.3．已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即4．在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，①时，，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即②再由累加法可得.亦可联立①②解出5．数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.答案：6．数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是，所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以7．数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……
6、 ∴∴2.已知中，，（）求。解：由得：∴即是等比数列∴4.已知中，，（）求。解：∴（）∴（）设即∴是等差数列∴5.已知中，，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列（2）求的通项公式解：（1）∴∴是首项为1，公差为2的等差数列∴（2）∴又∵∴6.已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列（2）若求的前n项和的最小值解：（1）∴时，整理得：∵是正整数数列∴∴∴是首项为2，公差为4的等差数列∴（2）∴为等差数列∴∴当时，的最小值为
