高中数学 《空间直线》知识精讲 旧人教版.doc

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1、高二数学空间直线人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：空间直线1.空间两条直线的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数Aαab两两直线直相交a∩b＝A一个线ba共两直线a∥b没有面平行Aαb两直线不在同a、b是异面没有一平面内直线2.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那麽这两个角相等。推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等。3.异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直

2、线。（2）画法：（3）异面直线判定：①用定义：（多用反证法）②判定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。4.异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。求两条异面直线所成的角的一般步骤是：（1）构造：用平移法作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：利用三角形求角；（4）结论．若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。用心爱心专心异面垂直空间两直线垂直相交垂直4.异面直线的公垂线及距离：

3、（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3）异面直线间的距离：公垂线段的长Ⅰ若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。Ⅱ若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。【典型例题】例1.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足（1）求证：M、N、P、Q共面．（2）当对角线AC＝a，BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值

4、(用a、b表示)用心爱心专心在同一平面内∴MN∥AC又NP∥BD∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角．∵MNPQ是正方形∠MNP＝90°∴AC与BD所成的角为90°【说明】在空间证明两直线平行的基本依据就是公理4——平行直线具有传递性。在平面几何中有关平行的定理只能解决在一个平面内的直线平行问题，在两个平面内的两条直线平行的判定中仍借助于公理4，这是证明空间两直线平行的基本出发点。求K的值就要建立K的方程，解方程的思想仍是求值的重要数学思想。例2.已知a，b是异面直线，求证：过b上的点所做的与a平行的

5、直线都在同一平面内证明：如图在b上任取一点P，作与a平行的直线c∴b，c确定一个平面a假设存在与直线a平行的直线l，满足L与b交于Q但lËa∴l∩a＝Q∴b、l确定一个平面，记作b∴a∩b＝b，且l∥c∴l∥a，这与L∩a＝Q矛盾∴LÌa，即过b上的点所作的与a平行的直线都在同一平面内注意：要掌握反证法的逻辑思维方法和表达方法。例3.正方体AC1中（1）和棱AA1异面棱是哪些？和AA1异面的面对角线有哪些？（2）面对角线B1C成异面垂直的棱有哪些？面对角线？（3）求BD和B1C所成的角（4）求BD1和B1C

6、所成的角（5）BD1不和哪些面对角线垂直？（6）BD1与CC1之间的距离。用心爱心专心解：（1）和棱AA1异面的棱是BC，CD，B1C1，C1D1面对角线BD，BC1，B1C，CD1，DC1，B1D1（2）棱：C1D1，AB面对角线：AD1（3）∠D1B1C为所求角∵B1D1＝B1C＝C1D＝a∴BD与B1C所成角为60°（4）①找D1C1^平面B1CD1B是面B1C的斜线B1C是BD1在平面B1C上的射影∵B1C^BC1∴BD1^B1C（三垂直定理）∴BD1和B1C所成角是90°②割补法（5）凡异面则都垂

7、直（6条）不垂直6条BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1（6）解一：连A1C交BD1于E取CC1中点F连EF，EF为△CA1C1的中位线。∴EF∥A1C1又∵CC1^面A1C1∴CC1^A1C1∴EF^CC1又∵D1F＝BF∴E是BD1中点∴EF为异面直线BD1与CC1间的距离EF＝A1C1＝a解二：（转化为线面距离）平面BB1D1D过直线BD1直线C1C∥平面BB1D1D∴CC1到面BB1D1D的距离就是异面直线BD1与CC1的距离连AC交BD于O，OC^BO，OC^BB1用心爱心专心∴OC^平

8、面BB1D1D∴OC就是CC1与平面BB1D1D的距离∴两异面直线见距离为OC＝AC＝a例4.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB与CD的中点，若AC＝BD＝2，，求异面直线AC与BD所成的角。解：取AD的中点G，连结EG，FG，则EG∥BD，GF∥AC，∠EGF＝120°是异面直线AC与BD所成角的补角，异面直线AC与BD所成的角是60°。评析：异面直线所成角为锐角或直角，所以其余弦值不能为负数，若求出