高二数学平面与空间直线通用版知识精讲.doc

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1、高二数学平面与空间直线通用版【本讲主要内容】平面与空间直线平面的基本性质、立体几何中的三种语言、空间两条直线的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1.平面是无限延展的，正如直线是无限延伸的。2.平面的表示：通常我们画平行四边形来表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长。当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮的部分的线段画成虚线或不画。有时也用三角形等平面图形来表示平面。我们通常用一个希腊字母α、β、等来表示平面，如平面α、平面β、平面等；也可以用表

2、示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC。3.三个性质公理及推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理1的内容有关直线和平面的集合关系，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个点（元素）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集。用它既可判定直线是否在平面内，又可检验平面。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理2的内容有关两个平面的集合关

3、系。公理中的两个平面是指不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3及其推论的内容关系到确定平面的条件。需要透彻理解“有且只有一个”的含义，这里“有”是强调图形存在，“只有一个”是强调图形唯一。这里强调的是存在和唯一两个方面，因此，“有且只有一个”必须完整地使用。

4、4.文字语言、符号语言和图形语言的互相转化例如：（如下图）文字语言：点A在直线l上，符号语言；文字语言：点B在直线m外，符号语言；文字语言：点B在平面α内，符号语言；文字语言：点A在平面α外，符号语言；文字语言：直线l在平面内，符号语言：文字语言：直线m在平面外，符号语言：；文字语言：直线m与直线n平行，符号语言：m∥n；文字语言：直线m与直线l相交于A，符号语言：；文字语言：直线l与平面α相交于B，符号语言：用心爱心专心文字语言：直线n平行于平面α，符号语言：n∥α；文字语言：平面α平行于平面

5、β，符号语言：α∥β；文字语言：直线l与直线n垂直，符号语言：l⊥n；文字语言：直线l垂直于平面α，符号语言：l⊥α；文字语言：平面与平面α垂直，符号语言：文字语言：平面α与平面交于直线n，符号语言：5.空间两条直线的位置关系有：平行、相交、异面三种。垂直是相交或异面的特殊情形，判断两条直线是异面直线的方法有：①不同在任何一个平面内；②既不平行，又不相交；③过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。【解题方法指导】例1.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中

6、点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：EF、GH、AC三直线交于一点。思路：可先证EF与GH交于一点，然后证明该交点在AC上。证明：∵∵∴且FG∥BD∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P∵直线EF，EF面ABC∴P面ABC同理P面ADC∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上故EF、GH、AC三直线交于一点。点评：平面几何中证多线共点的思维仍适用，只是在思考中应考虑空间图形的新特点。例2.空间四边形ABCD中，EF分别是线段AD、BC上的点，满足，AB＝CD＝3，EF

7、，求AB、CD所成角的大小。思路：先设法找到一个点G，然后过G分别解AB、CD的平行线，再构造一个以G为顶点的三角形，解三角形即可。四步：（1）找点；（2）作出平行线；（3）构成三角形；（4）求值。解：如图所示：设G是BD上的点，且有，分别连结EG、FG∵∴FG∥CD，GE∥AB∴∠EGF或其补角为所求∵AB＝CD＝3，EF∴由余弦定理得：∵异面直线所成的角为锐角或直角用心爱心专心∴AB、CD所成角为60°。点评：要注意异面直线所成的角为（]这个范围。【考点突破】【考点指要】本专题中平面的基本性

8、质是立体几何的入门知识，高考中不会单独考查本部分内容，但它是立体几何的基础，在考查其他知识时会结合考查对平面的基本性质的概念的理解和掌握情况。另外对空间直线这部分内容，高考可以就这部分内容直接命题，多为选择题或填空题，当然也可以是解答题中的一问，其中两条直线的平行、垂直关系以及两条异面直线所成的角是考查重点，在后面专题中重点研究。【典型例题分析】例1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1B的中点，那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A.三角形B.四边形C.五边