高三数学高考知识模块复习指导学案——简单几何体.doc

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1、高考数学知识模块复习指导系列学案——简单几何体【考点梳理】一、考试内容1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。2．球。3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。二、考试要求1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。三、考点简析1．棱柱2．棱锥3．棱柱、棱锥的侧面积与体积S正棱柱侧=Ch′S正棱锥侧=Ch′V柱体=Sh′V锥

2、体=Sh′4．球S球=4πR2V球=πR3四、思想方法1．割补法。它是通过“割”与“补”用心爱心专心等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。正棱锥：S底=S侧cosα4．多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两

3、点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。5．关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。6．关于等积变换问题。等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本

4、几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。【例题解析】例1如图8－1，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=30°，侧面A1

5、ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面，∠A1AB=60°，E、F分别是AB1、BC的中点。（1）求证：EF∥侧面A1ACC1；（2）求四棱锥A——B1BCC1的体积；（3）求EF与侧面A1ABB1所成角的大小。用心爱心专心（1）连结A1B、A1C∵A1ABB1是菱形，且E是AB1的中点，∴E是A1B的中点。又F是BC的中点，∴EF∥A1C。又A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴EF∥面A1ACC1。（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABC，交线为AB，∴在平面A1ABB1内，过A1作A1O⊥AB于O，则A1O⊥平面ABC，且h=A1O=a，又∵AC⊥CB，∠ABC=30°，∴，∴V

6、A—CCBB=V柱－VA—ABC=Sh－Sh=Sh=··AC·BC·A1O=··a·a·a=a3（3）在平面ABC内，过F作FH⊥AB于H，则FH⊥侧面A1ABB1。连结EH，则∠HEF为EF与侧面A1ABB1所成的角。∵在Rt△FHB中，FH=BF=a,BH=a；在△HEB中，HE===a，∴在Rt△EHF中，tan∠HEF==,∴∠HEF=arctan。用心爱心专心例2如图8－3，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC=2，AB=2。（1）求证：AC⊥BD；（2）求BD与底面ABC所成的角（用反正弦表示）；（3）求三棱

7、锥P—ABC的体积。解（1）如图8－4，取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC，∵PC⊥AC，∴DE⊥AC。∵△ABC是正三角形，∴BE⊥AC。又DE平面DEB，BE平面DEB，DE∩BE=E，∴AC⊥平面DEB。∵DB平面DEB，∴AC⊥DB。（2）法一：∵AC⊥平面DEB，AC底面ABC，∴平面DEB⊥底面ABC，∴EB是DB在底面ABC内的射影，∠DBE是BD与底面ABC所成的角。又∵DE⊥AC，BE