资源描述：
《高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5.3直线与平面的夹角直线与平面的夹角名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角).2.直线与平面所成角θ的范围是.可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,关系式:sinθ=
2、cosφ
3、或cosθ=sinφ.【做一做1】已知线段AB=8,AB在平面α内的射影长为4,则直线AB与平面α所成的角θ为()A.30°B.60°C.90°D.120°答案:B【做一做2】已知直线l的方向向量为s=(1,0,0),平面π的法向量为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为.思考辨析判断下列说法是否正确,正确
4、的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)直线与平面的夹角都是锐角.()(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.()(3)当直线与平面的夹角为0°时,说明直线与平面平行.()×××探究一探究二一题多解直线与平面的夹角【例1】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.探究一探究二一题多解思维点拨:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面
5、垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⫋平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⫋平面BCD,∴AB⊥CD.探究一探究二一题多解(2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⫋平面BCD,BD⫋平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.设平面MBC
6、的法向量n=(x0,y0,z0),探究一探究二一题多解取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求解的综合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判定或性质定理即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系,用向量的方法解决.探究一探究二一题多解变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()解析:建立如图所示的空间直角坐标系,∵底面是边长为4的正方形,AA1=3,∴A
7、1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0).答案:C探究一探究二一题多解夹角的综合计算【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值;(2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值.思维点拨:先利用面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利用线面角、面面角的向量方法求解.探究一探究二一题多解解:设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由AB=BC=CA,知CD⊥AB.设E为
8、AC中点,连接OE,则EO∥CD,从而OE⊥PO,OE⊥AB.如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.探究一探究二一题多解探究一探究二一题多解反思感悟求空间角的两种思路:(1)几何法:利用定义找出空间角,一般都放在某个三角形中,然后解三角形即可.(2)向量法:一般用向量的坐标法解决,先根据条件建立空间直角坐标系,再利用线线角、线面角、面面角的向量法夹角公式求解.探究一探究二一题多解变式训练2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,DE⊥平面BCC1B1.(1)证明:AB=AC;(2)设平面AB
9、D与平面BCD的夹角为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.探究一探究二一题多解(1)证明:以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),探究一探究二一题多解探究一探究二一题多解线面角的求法【典例】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1的夹角.思路点拨:探究一探究二一题多解解:方法一:如图所示,取A1B1的
