2020版高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版.pptx

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1、2.3数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤.3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:因为左边式子中a的最高指数是n+1,所以当n=1时,a的最高指数为2,

2、根据左边式子的规律可得,当n=1时,左边=1+a+a2.答案:C解析:由题意知式子右边各分数的分母是连续正整数,则由答案:C解析:因为三角形是边数最少的凸多边形,所以需验证的第一个n值为3.答案:32.数学归纳法的框图表示1.如何理解数学归纳法?剖析数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点:(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中,n的初始值不一定为1,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定.(

3、3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效.(4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性.2.运用数学归纳法要注意哪些?剖析正确运用数学归纳法应注意以下几点:(1)找准起点.数学归纳法的第一个步骤是要找到初始值n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.(2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所

4、以从“n=k”到“n=k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立.在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.(3)正确寻求递推关系.我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明等式【例1】用数学

5、归纳法证明:分析:第一步先验证等式成立的第一个值n0;第二步在假设n=k等式成立的基础上,等式左边加上n=k+1时新增的项,整理出等式右边的项.题型一题型二题型三题型四所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N*等式恒成立.题型一题型二题型三题型四左边=右边,等式成立.题型一题型二题型三题型四(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明不等式a1≥1,an+1≥f'(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N*).分析:求f'(x)→得an+

6、1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明an≥2n-1(n∈N*)证明:∵f'(x)=x2-1,(1)当n=1时,a1≥1=21-1,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即ak≥2k-1.则当n=k+1时,=22k-1≥2k+1-1.即当n=k+1时,命题也成立,由(1)(2)可知,不等式成立.题型一题型二题型三题型四左边>右边,所以不等式成立.题型一题型二题型三题型四(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)和(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式成立.题型一题型二题型三题型四用数学归纳法证明几何问题【例

7、3】有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设.证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,而12-1+2=2,所以命题成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上增