2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课件新人教A版.pptx

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1、二一般形式的柯西不等式1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.121.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.12【做一做1-1】已知x,y,z>0,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()1212归纳总结尽可能地构造符合柯西不等式的形式.常用技巧有:(1)巧拆常数;(2)重新安排某些项的次序;(3)改

2、变结构;(4)添项.12答案：C121.一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.122.正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,

3、对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思由a,b,c构成新的数,形成三维形式的柯西不等式.这从所给的数学式的结构中看出,需要有较高的观察能力.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思通过本题不同的证明方法可以看出,无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明,构造出所需要的某种

4、结构是证题的难点,因此,对柯西不等式及其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析：由题目可获取以下主要信息:①已知f(x)的函数表达式.②变量的取值范围.③证明相关的不等式.解答本题的关键是先将f(2x)≥2f(x)具体化,再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于较为复杂的证明问题,可采用“分析法”进行推导,从而找到柯西不等式的结构特征.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错

5、点忽视等号成立的条件致错【例4】已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值.题型一题型二题型三题型四错因分析：由基本不等式得到u=ax+by+cz≤5是正确的,但这只能说明u的最大值有小于或等于5两种可能,并不能得出u的最大值一定是5.事实上,如果u的最大值为5,错解中的三个不等式应同时取等号,于是a=x,b=y,c=z从而得出a2+b2+c2=x2+y2+z2,即t=5,这是不可能的.产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中等号成立的条件掌握不牢.题型一题型二题型三题型

6、四正解：求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式,得u2=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=1×9=9,u=ax+by+cz≤3而t的最小值为3.