Mathematica在量子力学中的应用举例.pdf

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1、第八章Mathematica在量子力学中的应用举例§8.1粒子在中心力场中的运动问题2mMZe设电子与原子核的约化质量为µ=e,V(r)=−，哈密顿量为m+Mre2dˆ222ZpZ∇Hˆ=+V(rˆ)=−+V(r).(8.1.1)2µ2µ其中r为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。利用中心势的球对称性，我们将薛定格方程写为在球坐标中的表示22Z∂2∂1∂∂1∂(E−V(r))(ψr,ϑ,ϕ).−2r+sinθ+22ψ()r,ϑ,ϕ=2µr∂r∂rsinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ(8.1.2)ddd角动量算符的定义为：L

2、=x×p。可以证明[Lˆ,Hˆ]=0，所以角动量Lˆ是守恒量，即在中心力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到Lˆ2（角动量的平方）也是守2恒量。在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时，(Hˆ,Lˆ,Lˆ)构成对易算符的一个完全z集。1∂∂Lˆ2∆≡∇2=r2−.(8.1.3)22r∂r∂rZ其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为：2ˆ221∂∂1∂L=−Zsinθ+22.(8.1.4)sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ薛定格方程(8.1.2)则可以写为Z2∂∂Lˆ2−r2−ψ()r,θ,ϕ=(

3、E−V)ψ(r,θ,ϕ).(8.1.5)222µr∂r∂rZ波函数ψ(r,θ,ϕ)与极角θ（−π/2≤θ≤π/2）和方位角ϕ(0≤ϕ≤π)的关联是由算符Lˆ2和Lˆ决定的。假定满足薛定格方程的本征波函数ψ(r,θ,ϕ)可以分离变量表示为zψ()r,θ,ϕ≡R(r)(Yθ,ϕ)≡R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ).(8.1.6)Lˆ在球坐标系中可以表示为：Lˆ=−iZ∂.该算符的本征值由求解本征方程zz∂ϕ∂−iZΦ()ϕ=LΦ(ϕ)，(8.1.7)z∂ϕ来得到。方程（8.1.7）的解为Φϕ=AeiLzϕ/Z.(8.1.8)()由于（8.1.8）式所示波函数解必须唯一确

4、定，因而它也必定满足条件：Φ()ϕ=Φ(2π+ϕ)，并且角动量算符Lˆz的本征值应当是离散的，其本征值表示为：Lz=mZ，(m=0,±1,±2,...).由本征波函数的归一化条件，方程（8.1.7）归一化的解可以写为1imϕΦ()ϕ=e.(8.1.9)2π类似地，对另一个守恒量-角动量平方，我们有本征方程：22()21∂∂1∂()2(LˆYθ,ϕ=−Zsinθ+Yθ,ϕ=LYθ,ϕ).(8.1.10)22sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ22方程(8.1.10)的解是球谐函数Yl,m。如果本征值满足L=l(l+1)Z，方程(8.1.10)写为21∂

5、∂1∂sinθ+22+l(l+1)Yl,m()θ,ϕ=0.(8.1.11)sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ角动量算符Lˆ2作用在球谐函数Y上的本征值由角量子数l=0,1,2,...决定。对应于确定的l,m角量子数l，算符Lˆ2的本征值则为l(l+1)Z2，此时磁量子数m则描写该角动量在z轴上的投影，它的取值范围为：m=0,±1,±2,...,±l。这就是说：对确定的角动量量子数l，应当有2l+1个本征函数Y。对磁量子数m为正时的情况，球谐函数的完整表达式为l,mY()θ,ϕ=(−1)m()l−m!(2l+1)Pm(cosθ)eimϕ.(8.1.12)

6、l,m()ll+m!4πm其中P(x)为l阶的第m个伴随勒让德函数。如果磁量子数为负时（−m），其球谐函数满l足如下关系式(l−m)!m*Y()θ,ϕ=(−1)Y(θ,ϕ).(8.1.13)l,−m()l,ml+m!显然，球谐函数Y也是算符Lˆ的本征函数。容易证明类似(8.1.7)式，球谐函数Y满足：l,mzl,mLˆY≡−iZ∂Y=mZY.(8.1.14)zl,ml,ml,m∂ϕ因而球谐函数Y既是角动量算符平方Lˆ2，也是角动量算符的z分量Lˆ的本征函数。在l,mzMathematica中球谐函数表示为SphericalHarmonicY[]。勒让德多项式表示为Le

7、gendreP[]。将（8.1.6）式代入薛定格方程(8.1.2),再应用上面推导出的角动量部分波函数所满足的薛定格方程，可以得到本征波函数ψ(r,θ,ϕ)表示中的径向部分R(r)应当满足的方程。22+dR2dR2µZel(l1)2++2E+−2R=0.(8.1.15)drrdrZrr2下面我们以氢原子为例进行分析。定义波尔半径a=Z≈5.29×10−11m为长度单位，即02mee24emeeρ=r/a0;以氢原子的电离能量E0==4≈13.5eV为能量单位，即ε=EE0；定2aZ0义径向函数R(ρ)=u(ρ)/ρ。这时方程(