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时间:2020-03-31
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1、实变函数讲稿(第19讲)教学内容:Lusin(鲁津)定理详细教案第三章可测函数§3.2.可测函数的逼近定理一、Egoroff(叶果洛夫)定理定理1(Egoroff)设mE<+∞,∀∈n`,
2、(fx)
3、<+∞a.e.[E],且n
4、f(x
5、)<+∞a.e.[E],则f()x→f()xaeE..[]当且仅当∀δ>0,∃⊂EEnδ使得m(E−E)<δ,并且f(x)在E上一致收敛于f(x).δnδ二、Lusin(鲁津)定理定理2(Lusin)设mE<+∞,
6、()
7、fx<+∞ae[.E],则∀ε>0,存在闭集E⊂E使得m(E−E
8、)<δ,并且f(x)在E上连续.δδδ为了证明这一个定理,我们先作如下一些知识准备.1.预备知识n命题1.设E是R中的任意可测集,则∀ε>0,存在开集G⊃E使得并ε且m(G−E)<ε.ε证明(1)首先考虑当mE<+∞时的情况.因为∞∞mE=inf{∑
9、Iii
10、
11、∪I⊃EI,i为开长方体},i=1i=1∞∞则对于∀ε>0,存在开长方体序列{Ii}i=1,使得∪Ii⊃E,并且i=1∞mE≤∑
12、Ii
13、14、=m(∪Ii)−mE≤∑15、Ii16、−mE<εi=1i=1(2)再考虑mE=+∞时的情况∞n取中单调递增的开长方体{Ji}i=1,使得E⊂∪Ji.对于∀i∈`,令i=1∞Ei=E∩Ji,则E=∪Ei.因为∀i∈`,存在开集Gi⊃Ei有i=1εmGE()−<,iii+12∞令Gε=∪Gi,则Gε是开集,Gε⊃E并且i=1∞∞∞mG()(ε−=Em∪∪Gii−E)(≤m∪(GEi−i))ii==11i=1∞∞εε≤∑∑mGE()ii−≤i+1=<ε.ii==1122于是,结论得证.□n命题2设E是中任意可测集,则∀ε>017、,存在闭集E⊂E使得εm(E−E)<ε.εnnn证明设E是中任意可测集,则A=−E在中可测.对于∀ε>0,nnn存在开集G⊂,G⊃A使得m(G−A)<ε.令FG=−,则F是εεn中闭集,FA⊂−⊂E,并且εnnmEF(−)=−m[(\A)(−−G)]≤−mGA()<ε.εnn因为G⊃A,所以F=\−GA⊂−=E.□ε命题3设f(x)是可测集E上的处处有限可测函数,则存在E上的简单函数∞序列{g(x)}使得∀x∈E,limg()xfx=().nn=1nn→∞+−+证明因为f(x)=f(x)−f(x)(18、∀x∈E)对于非负可测函数f(x)与96第19讲██−∞∞f(x),由p.47定理1,存在简单函数序列{ϕ(x)}与{ψ(x)}使得∀x∈E,nn=1nn=1+−limϕ(x)=f(x),limψ(x)=f(x)nnn→∞n→∞+−从而,lim[ϕ(x)−ψ(x)]=f(x)−f(x)=f(x).nnn→∞对于∀x∈E,∀n∈`,令g(x)=ϕ(x)−ψ(x),则g(x)仍是E上的简nnnn单函数.∞事实上,若ϕ(x)=ci,x∈Ei,i=3,2,1",m,并且E=∪Ei;又若i=1kψ(x)=dj,x∈Fj,(j=19、3,2,1",m),∪Fj=E,则j=1ϕ(x)−ψ(x)=c−d,x∈E∩Eijij并且E=∪(Ei∩Ej).从而,ϕ(x)−ψ(x)是一简单函数.从而,gn()x=i,jϕ()x−ψ()x是简单函数序列,并且limg()xfx=()(x∈E).□nnnn→∞n定义1设E⊆,f(x)是定义E在上的函数,x∈E.01)称f(x)在x点相对于E是连续的,如果∀ε>0,∃δ>0,使得0∀∈xEOx∩(,)δ,有20、f(x)−f(x21、)<ε;002)称f(x)在E上连续,如果∀x∈E,f(x)都在点x相对于E是连续的.0022、n引理1.假设F⊆,是闭集,f(x)是F上的连续函数序列,并且一致n收敛到f(x),则f(x)在F上连续.证明∀x∈F,∀ε>0,因为f(x)在F上一致收敛于f(x),则∃∈N`,0n∀n>N时,∀x∈F,恒有ε23、f(x)−f(x24、)<.n3ε特别地,对于x∈F,有25、()()26、fxfx−<.0n003现在取n∈`使得n≥N.因为f(x)在x连续,所以∃δ>0,使得00n00∀∈xFOx∩(,)δ,有0ε27、f(x)−f(x28、)<.n0n00397▉▉实变函数从而,∀ε>0,∃δ>0,∀xFOx∈∩(,)δ,恒有029、(30、)()31、32、()fx−≤−+−+−fxfxf()33、34、()xfxf()35、36、()()37、xfxfx00nn00nn000εεε<++=ε.333从而,f(x)在F上连续.□定理2(Lusin)设mE<+∞,f(x)(38、f(x39、)<+∞a.e.[E])是E上几乎处处有限的可测函数,则∀ε>0,存在闭集F∈E,使得ε(i)m(E−F)<ε,并且ε(ii)f
14、=m(∪Ii)−mE≤∑
15、Ii
16、−mE<εi=1i=1(2)再考虑mE=+∞时的情况∞n取中单调递增的开长方体{Ji}i=1,使得E⊂∪Ji.对于∀i∈`,令i=1∞Ei=E∩Ji,则E=∪Ei.因为∀i∈`,存在开集Gi⊃Ei有i=1εmGE()−<,iii+12∞令Gε=∪Gi,则Gε是开集,Gε⊃E并且i=1∞∞∞mG()(ε−=Em∪∪Gii−E)(≤m∪(GEi−i))ii==11i=1∞∞εε≤∑∑mGE()ii−≤i+1=<ε.ii==1122于是,结论得证.□n命题2设E是中任意可测集,则∀ε>0
17、,存在闭集E⊂E使得εm(E−E)<ε.εnnn证明设E是中任意可测集,则A=−E在中可测.对于∀ε>0,nnn存在开集G⊂,G⊃A使得m(G−A)<ε.令FG=−,则F是εεn中闭集,FA⊂−⊂E,并且εnnmEF(−)=−m[(\A)(−−G)]≤−mGA()<ε.εnn因为G⊃A,所以F=\−GA⊂−=E.□ε命题3设f(x)是可测集E上的处处有限可测函数,则存在E上的简单函数∞序列{g(x)}使得∀x∈E,limg()xfx=().nn=1nn→∞+−+证明因为f(x)=f(x)−f(x)(
18、∀x∈E)对于非负可测函数f(x)与96第19讲██−∞∞f(x),由p.47定理1,存在简单函数序列{ϕ(x)}与{ψ(x)}使得∀x∈E,nn=1nn=1+−limϕ(x)=f(x),limψ(x)=f(x)nnn→∞n→∞+−从而,lim[ϕ(x)−ψ(x)]=f(x)−f(x)=f(x).nnn→∞对于∀x∈E,∀n∈`,令g(x)=ϕ(x)−ψ(x),则g(x)仍是E上的简nnnn单函数.∞事实上,若ϕ(x)=ci,x∈Ei,i=3,2,1",m,并且E=∪Ei;又若i=1kψ(x)=dj,x∈Fj,(j=
19、3,2,1",m),∪Fj=E,则j=1ϕ(x)−ψ(x)=c−d,x∈E∩Eijij并且E=∪(Ei∩Ej).从而,ϕ(x)−ψ(x)是一简单函数.从而,gn()x=i,jϕ()x−ψ()x是简单函数序列,并且limg()xfx=()(x∈E).□nnnn→∞n定义1设E⊆,f(x)是定义E在上的函数,x∈E.01)称f(x)在x点相对于E是连续的,如果∀ε>0,∃δ>0,使得0∀∈xEOx∩(,)δ,有
20、f(x)−f(x
21、)<ε;002)称f(x)在E上连续,如果∀x∈E,f(x)都在点x相对于E是连续的.00
22、n引理1.假设F⊆,是闭集,f(x)是F上的连续函数序列,并且一致n收敛到f(x),则f(x)在F上连续.证明∀x∈F,∀ε>0,因为f(x)在F上一致收敛于f(x),则∃∈N`,0n∀n>N时,∀x∈F,恒有ε
23、f(x)−f(x
24、)<.n3ε特别地,对于x∈F,有
25、()()
26、fxfx−<.0n003现在取n∈`使得n≥N.因为f(x)在x连续,所以∃δ>0,使得00n00∀∈xFOx∩(,)δ,有0ε
27、f(x)−f(x
28、)<.n0n00397▉▉实变函数从而,∀ε>0,∃δ>0,∀xFOx∈∩(,)δ,恒有0
29、(
30、)()
31、
32、()fx−≤−+−+−fxfxf()
33、
34、()xfxf()
35、
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37、xfxfx00nn00nn000εεε<++=ε.333从而,f(x)在F上连续.□定理2(Lusin)设mE<+∞,f(x)(
38、f(x
39、)<+∞a.e.[E])是E上几乎处处有限的可测函数,则∀ε>0,存在闭集F∈E,使得ε(i)m(E−F)<ε,并且ε(ii)f
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