月远程期末《高等代数一》复习提要及补充题(王颖坚).doc

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1、北京大学现代远程教育计算机科学与技术专业高等代数（一）复习提纲（05.11）（第一学期期末用）第一章行列式§4行列式的性质（六条性质）§5行列式对一行（列）的展开§6行列式的计算习题1.5――4（1）（2），习题1.6——4，5，6复习题1——4，6，7，9第二章线性方程组§1克莱姆法则——当方程个数等于未知量个数（均为n）时，若系数行列式则方程组有唯一解：（i=1，2，…n）§2消元法对于线性代数方程组，写出其增广矩阵，对它进行初等行变换，化成阶梯形矩阵：阶梯形矩阵得到同解的阶梯形方程组，由此得出方程组的解。§4、§5n维向量空间、线性相关性1、单个向量线性相关单个向量

2、线性无关2、若向量组线性无关，则在此向量组的每个向量上添加一个分量后，所得向量组仍线性无关。3、n个n维向量（i=1,2…，n）线性相关13/134、（定理7）若向量组…，可由向量组线性表出，则…，线性相关。（推论1）若向量…，可由向量组线性表出，且…，线性无关，则。（推论2）任意n+1个n维向量，必线性相关。（推论3）两个等价的线性无关的向量组，必包含相同个数的向量。5、向量组…，线性相关…，中有一个向量可以被其余向量线性表出。6、向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。7、向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，因此都包含相同个数的向量。8、一个向量组线性

3、无关此向量组的秩等于它所含向量的个数。9、若向量组…，可由向量线性表出，则（习题2.5（3）：5）10、等价的向量组有相同的秩（其逆命题不成立）11、若两个向量组有相同的秩，且其中一个向量组可以由另一个向量组线性表出，则这两个向量组等价。（复习题2：10）习题2.5（1）——2，4，52.5（2）——2，32.5（3）——4，5，6§6矩阵的秩1、矩阵的行秩、列秩、行列式秩都相等，称为矩阵的秩。2、矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。13/13习题2.6——3§7有解判定与解的结构1、线性方程组有解2、线性方程组有唯一解（n是未知量个数）线性方

4、程组有无穷多解3、若齐次线性方程组有非零解，则它必有基础解系，且基础解系所含解的个数4、与基础解系等价的线性无关向量组，也是基础解系。5、线性代数方程组的全部解其中为特解，为基础解系。习题2.7（1）——2，32.7（2）——1，22.7（3）——1，3复习题2——1,2，4，5，9，10第三章矩阵§3.1§3.2矩阵的运算矩阵的分块1、矩阵与矩阵的乘法不满足交换律2、3、（定理1）（定理2）（定理3）习题3.2——5，6§3.3§3.4矩阵的逆等价矩阵1、矩阵A可逆13/13A可逆时，2、3、，，4、若A是一个s×n矩阵，P是s阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则5、（定理

5、6）设A是一个s×n矩阵，对A施行一次初等行变换，就相当于在A的左边乘上一个相应的s阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，就相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵。6、（推论）A，B等价有初等矩阵使7、（定理7）矩阵A等价于它的规范形，且规范形的主对角线上1的个数等于r（A）。8、A可逆A与单位矩阵E等价9、（定理8）A可逆A能表成一些初等矩阵的乘积：（推论1）可逆矩阵A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵：（推论2）与等价存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ10、可逆矩阵A的求逆方法：习题3.3——3，43.4——4，5§3.5正交矩阵（实数域上）1、若则A

6、为正交矩阵。13/132、若A正交，则（其逆不对）3、A是正交矩阵4、若A正交，则也正交5、若A，B是同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。6、两个n维实向量，的内积：若，则正交。若是行向量，则；若是列向量，则。7、（定理9）n阶矩阵A是正交矩阵A的行（列）向量组是正交的单位向量组。8、正交的向量组一定是线性无关的。9、（定理11）设是一组线性无关的向量组，则可以找到一组正交向量组使得与等价。再令则是与等价的正交单位向量组。习题3.5——7，8复习题3——9，10，11第四章矩阵的对角化问题§4.1§4.2相似矩阵，特征值，特征向量1、A~B即存在可逆矩阵X使2、相似矩阵有相

7、同的行列式相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的迹13/133、（定理1）n阶方阵A与一个对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量习题4.1——4，54.2——1，3，4§4.3矩阵可对角化的条件1、（定理4）若是矩阵A的不同特征值（，）是A的属于的特征向量，则向量组线性无关。2、若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化（充分条件）3、若复数域上的矩阵A的特征多项式没有重根，则A可对角化（充分条件）习题4.3——2，4§4.4实对称矩阵的对角化1、（定理6）实对称矩的特征值都是实数。2、（定理7）设