06年1月远程期末《高等代数二》复习提要及补充 题(05.11.王颖坚)

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1、北京大学现代远程教育05年秋季学期计算机科学与技术专业《高等代数(二)》复习提纲（05.11）第五章二次型1。二次型及其矩阵，非退化线性替换2。两个同阶方阵合同的概念，合同矩阵的重要性质。矩阵的合同，相似，等价概念的区别与关系。3。用正交替换化实二次型为标准形4。用非退化线性替换化二次型为标准形，配方法；初等变换法。5。二次型的规范形，二次型的秩。复数域上二次型的规范形。实数域上二次型的规范形，正惯性指数，负惯性指数，符号差。6。正定二次型实二次型的正定性及其矩阵的正定性。实二次型正定（或其实对称矩阵正定）的充要条件。实二次型负定，半正定，半负定，不定。习题5。1－－3，

2、45。3－－1，35。4－－15。5－－1，2，3，4，6，复习题5－－8，10，11，12第六章多项式1。多项式概念，整除性理论带余除法，余数定理，综合除法2。最大公因式辗转相除法；最大公因式的重要性质；互素3。因式分解定理不可约多项式；不可约多项式的重要性质；因式分解定理4。重因式重因式的判别；重因式的去除。5。复系数与实系数多项式的因式分解复系数多项式因式分解定理－－复系数多项式可唯一地分解成一次因式的乘积。实系数多项式因式分解定理－－实系数多项式可唯一地分解成一次与二次不可约因式的乘积6。有理系数多项式本原多项式；有理系数多项式的因式分解与整系数多项式因式分解的关

3、系；有理系数多项式的有理根。习题6。2（3）－－36。3（1）－－2第11页共11页6。3（3）－－2，36。4（2）－－16。5－－1，2，36。6（1）－－16。7－－3（2），4（1），5复习题6－－1，2，3，10，13第八章线性空间1。线性空间的定义8。1节例5的线性空间；习题8。1第1（5）题的线性空间。2。向量组的线性关系3。线性空间的维数，基与坐标维数的定义；维数的判别法。基与坐标的定义，坐标的计算4。基变换与坐标变换由一组基到另一组基的过渡矩阵；几组基之间过渡矩阵的关系。同一个向量对两组基的坐标之间的关系。5。线性子空间线性空间的子集构成子空间的充要条件

4、（定理8）；定理9及其推论；齐次线性方程组的解空间。6。子空间的交与和子空间的交与和的定义；维数公式；子空间的直和的定义；子空间的直和的判别法。习题8。1－－1(5)8。2－－1，48。3－－2，58。4－－18。5－－2，3，58。6（1）－－1，28。6（2）－－1，2复习题8－－1，7，8，9，17第11页共11页高等代数（二）补充题(2005.11)第五章1．实对称矩阵A=，如果A的主对角线上有一个元素，那么A不是正定矩阵。（对？错？）答：对。（提示：用主子式判断。参看习题5.5第3题）2．设A是实的n阶可逆矩阵，则是正定矩阵。（对？错？）解：因A可逆，，故与单位

5、矩阵E合同，所以正定。（对）3.是负定二次型的充要条件是它的矩阵A的n个顺序主子式都小于零。（对？错？）解：错。负定的充要条件是A的顺序主子式满足例如：是负定的，但是其2阶顺序主子式大于零。4.设是阶实对称矩阵，，则存在实维向量，使。（对？错？）解：因，则不是正定的，也不是半正定的，故有实维向量，使。（对。参看复习题5第10题）5.在实数域上，矩阵与是合同的。（对？错？）解：的顺序主子式2，，故正定。的顺序主子式1，，故非正定。因非退化线性替换不改变实对称矩阵的正定性，即，合同变换不改变实对称矩阵的正定性，所以与不是合同的。第11页共11页5.设是阶实对称矩阵，有阶实矩阵

6、,使，则二次型是半正定的。（对？错？）解：对。因为对于任意实向量，可令则有（参看复习题5第8题）6.如果3阶实对称矩阵A的三个顺序主子式都大于零，则A的所有主子式都大于零。（对？错？）答：对。7.实对称矩阵A，如果不是正定矩阵，是半正定矩阵，那么A的行列式。（对？错？）解：因A是半正定矩阵，则可经非退化线性替换X=CY将二次型化为规范形，其正惯性指数。故有可逆矩阵C使其中主对角线上1的个数为，从而有，（）即，所以。（对）9.矩阵A与B等价是矩阵A与B合同的（）A.充分条件B.必要条件第11页共11页C.充要条件D.既不充分也不必要的条件答：选B。10．设两个n阶矩阵A与B

7、相似，则（）（A）A与B合同（B）A与B不合同（C）A与B等价（D）A与B不等价答：C11．设两个n阶矩阵A与B有相同的特征多项式，则（）（A）A与B相似（B）A与B合同（C）A与B等价（D）以上三条都不成立答：D12．设A是n阶可逆矩阵，则（）（A）A与E相似（B）A与E合同（C）A与E等价（D）A与E相等答：C13.实二次型是（）A.正定的B.负定的C.不定的D.半正定的解：，令即或写成X=CY其中是可逆矩阵。于是有规范形，则正惯性指数，故实二次型为半正定。（答：D）14.实二次型是（）A.负定的B.半负定的C.不定的D.