西安交大复变函数课件5-3留数在定积分计算上的应用.ppt

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1、一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分第三节留数在定积分计算上的应用四、小结与思考1一、形如的积分思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条2形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周3z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.4例1计算积分解则56例2计算解令7极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)8例3解故积分有意义.91011因此12若有理函数R(x)的分母至少比分子高两

2、次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分132.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取f(z)=R(z).14xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的

3、在上半平面内的极点都包在这积分路线内.15根据留数定理得:当充分大时,总可使1617例4计算积分解在上半平面有二级极点一级极点1819xy..积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内.同前一型:补线一起构成封闭都三、形如的积分20对于充分大的,且时,有21从而22由留数定理:23例5计算积分解在上半平面只有二级极点又24注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇

4、点.25例6计算积分分析因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:26解封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由2728当充分小时,总有29即30例7证如图路径，3132令两端实部与虚部分别相等，得菲涅耳(fresnel)积分33四、小结与思考本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.34思考题35思考题答案放映结束，按Esc退出.36