高中数学必修一人教A版..函数的奇偶性.ppt

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1、观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)如何利用函数解析式描述这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=

2、x

3、对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=f(x)即图像关于y轴对称1．偶函数(evenfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图

4、(1)、(2)所示.观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),即函数图象关于原点对称。f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2．奇函数(oddfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．一、两个性质：一个函数为奇

5、函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称利用奇偶函数的对称性能补充完整函数的图象。讲解P35.思考练习：P36.2试卷填空题1深化探究1：奇函数和偶函数的定义域有何特征？奇偶函数的定义域关于原点对称。深化探究2：注意：1、函数的奇偶性是函数的整体性质；对定义域内任意一个x都必须成立；2、奇偶函数的定义域关于原点对称；3、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.二、函数奇偶性和单调性的关系：例：P39.B组3题结论：(1)如果函数f(x)是一个奇函数,那么它在关于原点对称的

6、区间上的单调性是相同的.(2)如果函数f(x)是一个偶函数,那么它在关于原点对的区间上的单调性是相反的.练习：试卷选择题2.3三、判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、计算f(-x);(3)、判断f(-x)与f(x)的关系；(4)、若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；若f(-x)=f(x)，则为偶函数.例：判断下列函数的奇偶性(1)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=

7、-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x

8、x≠0}∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x

9、x≠0}∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数例：判断下列函数的奇偶性：练习：判断下列函数的奇偶性：扩充：分段函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：四、一些题型题型一、奇偶性的定义的运用原理：若函数是奇函数，则f(-x)=-f(x);若函数是偶函数，则f(-x)=f(x);例：试卷选择题1练习：选择题4.6；一般有下列结论:偶函

10、数+偶函数=偶函数;奇函数+奇函数=奇函数.偶函数+奇函数=非奇非偶函数.偶函数X偶函数=偶函数;奇函数X奇函数=偶函数;偶函数X奇函数=奇函数.题型二、利用函数奇偶性求函数值原理：若函数y＝f(x)为偶函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝M.若函数y＝f(x)为奇函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝－M.例：已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于________．【点拨】可设F(x)＝f(x)＋8为奇函数，即本题利用了F(2)＋F(－2)＝0.互动探究1在本例中，若f(m)＝10，则

11、f(－m)＝________.解析：令F(x)＝f(x)＋8，则F(m)＋F(－m)＝0，∴f(m)＋8＋f(－m)＋8＝0，∴f(－m)＝－f(m)－16＝－10－16＝－26.答案：－26题型三、利用函数奇偶性求函数解析式原理：奇偶函数的图象有对称性，根据对称性，可求另一部分的解析式．例：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．【思路点拨】解答本题可将x>0的解析式转化到x<0上求解．【点拨】此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内

12、．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．互动探究若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，函数的单调性是定义域内的局