傅里叶变换分析.doc

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1、傅里叶变换分析从大二开始学习“信号与系统”，到大三学习了“数字信号处理”、“随进信号分析”，傅里叶变换一直穿插其屮，从一开始的完全不知道这是什么，到现在也算对其有了一定的了解，现在我就回顾一下我们所学的傅里叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。傅立叶分析的研究与应用至今己经历了一百余年。1822年法国数学家傅立叶（J.Fourier,1768-1830）.提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理，奠定了傅立叶变换的理论基础。进入20世纪以后。人们认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之屮，采用频率域（频域）的分

2、析方法较之经典的吋间域（吋域）方法有许多突出的优点傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之屮•而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域屮得到广泛普遍的应用。傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。当今，傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。傅里叶变换定义若/（/）在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且/⑴在（一8,4-00）上绝对可积（如下积分收敛），即:(1)(2)

3、为/⑴的象函数，/（f）称作F（3）的原函数。傅里叶变换的分类连续傅里叶变换:一•般情况下，若“傅立叶变换”一词的前而未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。该式其实表示的是连续傅里叶变换，即将吋间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(3)的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F(3)表示为吋间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(3)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一•个傅立叶变换对。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅

4、里叶变换，当f(t)为奇函数(或偶函数)时，其余弦(或正弦)分量将消亡，而可以称这吋的变换为余弦转换或正弦转换。另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时,F(-3)二F(3)成立。傅里叶级数：连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourierseries)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：g/(X)=£耳存，n=—o©(4)其屮咼为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成:g/(x)=4-22[«ncos(nx)+bgsm(?£z)]n=l其屮禺和6是实频率分量的振幅。离散时间傅里

5、叶变换：离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)oDTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x(门)定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x(n)表示为下而的求和形式：X(n)=—y

6、能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。傅里叶变换应用实例1•傅里叶变换在滤波技术屮的应用利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产牛不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。设滤波器的输入兀⑴,输出y(r),则有滤波器系统的输入关系如卜：x(t)*h(t)=y(t)(7)由吋域卷积定理知，式7可转换为X@)H(a))=Y(3(8)其屮：班f)y(f)—(劲，由式8知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进

7、行频谱分析提供了可能。又由式8知H(G)=Y(e)/X(e)(9)其屮称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。因此若已知输入兀⑴及要求的输出丁⑴，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适半地满足实际需要。2.傅里叶变换在抽样技术111的应用抽样定理论述了在一定条件下，一个连续吋间信号可以用该信号在等吋间间隔上的瞬吋值表示。这些样本值包含了该连续吋间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，抽样定理在连续时间信号与离散时间信号Z间架起了一座桥梁。由于离散时间信号(数字信号)的处理更为灵活、方便，在许多实际

8、应用（如数字通信系统等），首先将连续信号转换为相应的离散信号，并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。取样定理为连续信号