【创新设计】2011届高三数学一轮复习 9.4 空间向量及其运算课件 文 大纲人教版.ppt

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1、【考纲下载】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质.第4讲空间向量及其运算1．共线向量与共面向量(1)如果表示向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫共线向量或平行向量．(2)平行于同一平面的向量叫做．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是.(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是.互相平行或重合共面向量存在实数λ，使a＝λb存在实数对x

2、、y，使p＝xa＋yb【思考】向量∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？答案：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z使当x，y，z满足时，P，A，B，C四点共面．不共面x＋y＋z

3、＝1提示：如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p

4、p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．3．两个向量的数量积提示：(1)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在向量中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为cosθ有可能为0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c

5、.在向量中a·b＝b·c并不一定有a＝c.(3)在实数中，有(a·b)c＝a(b·c)，但是在向量中不一定有(a·b)c＝a(b·c)．(4)向量的夹角未必是异面直线所成的角，有时要进行转化．A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若

6、a

7、＝

8、b

9、，则a，b的长度相等而方向相同或相反1．下列命题是真命题的是()解析：A项错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面；B项错．因为

10、a

11、＝

12、b

13、仅表示a与b的模相等，与方向无关．C项错．空间任两向

14、量不研究大小关系，因此也就没有　这种写法．D项对．∵＝0，答案：D2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，向量是()A．有相同起点的向量B．等长的向量C．共面向量D．不共面向量答案：C3．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则等于()解析：依题意有答案：A4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且则四边形ABCD是________．解析：由∴四边形ABCD是平行四边形．答案：平行四边形空间向量的运算可以与平面向量的运算进行类比，利用图形中的平行关系可以把空间的运算进行

15、转化，从而使得运算更加简便．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：(2)设E是棱DD1上的点，且试求x，y，z的值．【例1】思维点拨：结合图形特点，利用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量，再充分运用空间向量加法及数乘向量的运算律求解．解：(1)要用共线向量定理证明向量a，b所在的直线平行，除证明a＝λb外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外．(2)利用空间向量证明线面平行，只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b，

16、已知直线的方向向量为a，证明a＝λb即可．【例2】如图所示，若ABC－A1B1C1是三棱柱，D是AC的中点．证明：AB1∥平面DBC1.思维点拨：连结B1C交BC1于点O，连结OD，只需证明证明：如图所示，连结BC1与B1C交于点O，连结OD，则OD是△AB1C的中位线，所以(1)利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量a，b只要证明a⊥b，即a·b＝0即可．(2)证明线面垂直：直线l，平面α，要证l⊥α，只要在l上取一个非零向量p，在α内取两个不共线的向量a、b，问题转化

17、为证明p⊥a且p⊥b，也就是a·p＝0且b·p＝0.(3)证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线线平行，线线垂直．【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.证明：则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(

18、b

19、2－

20、a

21、2)＝0.∴A1O⊥BD，∴A1O⊥平面GBD.变式3：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.