2010-2011学年高中数学-第2章数列-等差数列同步精品学案-新人教A版必修5.doc

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1、§2.2等差数列对点讲练一、等差数列的通项公式例1若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解设{an}的公差为d.64a1＝，15a15＝a1＋14d＝8，方法一由题意知解得4a60＝a1＋59d＝20，d＝.15644所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.1515a60－a1520－84方法二因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝＝，60－1560－15154所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.15总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an＝am＋

2、(n－m)d求解．►变式训练1在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．am－ann－m解方法一设公差为d，则d＝＝＝－1，m－nm－n从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，am＝am＋b＝n，则得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.an＝an＋b＝m，二、等差数列的性质例2已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝1

3、5，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．►变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a－3d，a－

4、d，a＋d，a＋3d，则由题设得(a－3d)＋(a－d)＋(a＋d)＋(a＋3d)＝26，(a－d)(a＋d)＝401313a＝，a＝，224a＝26，∴解得3或3所以这四个数为2,5,8,11或a2－d2＝40.d＝d＝－.2211,8,5,2.三、等差数列的判断41例3已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.an－1an－2(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．分析计算bn＋1－bn＝常数，然后求出bn，最后再由an与bn的关系求出an.用心爱心专心144(1)证明∵a*n＝4－(

5、n≥2)，∴an＋1＝4－(n∈N)．an－1an1111an1an－21∴bn＋1－bn＝－＝4－＝－＝＝.an＋1－2an－22－an－22(an－2)an－22(an－2)2an1*11∴bn＋1－bn＝，n∈N.∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.22211111n(2)解b1＝＝，d＝.∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.a1－2222221n2∴＝，∴an＝2＋.an－22n总结判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．111►变式训练3若，，是等差数列，求证：a2，b2，

6、c2成等差数列．b＋cc＋aa＋b111112证明∵，，是等差数列，∴＋＝.b＋cc＋aa＋bb＋ca＋bc＋a∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．课堂小结：1．证明数列{an}为等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)⇔{an}为等差数列或an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)等差

7、中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列．(3)通项法：an＝pn＋q(p、q∈R)⇔{an}是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说{an}是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.课时作业一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为()A．24B．22C．20D．－8答案Aa322．已知等差数列{an}中，a2＝－9，＝－，则an为(

8、)a23A．14n＋3B．16n－4C．15n－39D．15n＋8答案Ca322解析∵a2＝－9，＝－，∴a3＝－×(－9)＝6，a233∴d＝a3－a2＝15，∴an＝a2＋(n－2)d＝－9＋(n－2)