2010-2011学年高中数学-第2章数列-数列的概念与简单表示法二同步精品学案-新人教A版必修5.doc

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1、§2.1　数列的概念与简单表示法(二)对点讲练一、利用函数的性质判断数列的单调性例1　已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：数列{an}为递增数列．证明　an＝＝1－an＋1－an＝－＝＝.由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.∴数列{an}为递增数列．总结　数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．►变式训练1　在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数a的取值范围．解　若{an}为递增数列，则an＋1－an≥0.即(n＋1)3－a(n＋1)－n3

2、＋an≥0恒成立．即a≤(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1恒成立，即a≤(3n2＋3n＋1)min，∵n∈N*，∴3n2＋3n＋1的最小值为7.∴a的取值范围为a≤7.二、求数列的最大项例2　已知an＝(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解　因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则当n≤7时，n＋1·>0，当n＝8时，n＋1·＝0，当n≥9时，n＋1·<0，所以a1a10>a11>a12>…，故数

3、列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.总结　先考虑{an}的单调性，再利用单调性求其最值．►变式训练2　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解　(1)an＝n2－5n＋4＝2－，当n＝2,3时，an<0.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2.三、由递推公式求通项公式4用心爱心专心例3　已知数列{an}满足a1＝1，an＝a

4、n－1＋(n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．解　由递推公式得a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝.故数列的前五项分别为1，，，，.∴通项公式为an＝＝2－.总结　已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．►变式训练3　已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．解　∵ana

5、n－1＝an－1－an，∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.∴＝n＋1，∴an＝.课堂小结：函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前

6、面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n(n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1

7、给出的数列{an}的第34项是(　　)A.B．100C.D.答案　C解析　a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，猜想an＝，∴a34＝＝.4．已知an＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为(　　)A．10B．11C．12D．13答案　B解析　∵－a1＝a10，－a2＝a9，－a3＝a8，－a4＝a7，－a5＝a6，∴S11>0，则当n≥11时，Sn>0，故n最小为11.5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2010的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　计算得a2＝，a3＝，a

8、4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3能整除，所以a2010＝a3＝.二、填空题6．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．答案　127．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an