高中数学 第2章数列 等差数列同步精品学案 新人教a版必修5

《高中数学 第2章数列 等差数列同步精品学案 新人教a版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.2　等差数列对点讲练一、等差数列的通项公式例1　若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解　设{an}的公差为d.方法一　由题意知解得所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.方法二　因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.总结　方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an＝am＋(n－m)d求解．►变式训练1　在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．解　方法一　设公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.

2、方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则　　得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.二、等差数列的性质例2　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.总结　要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7

3、＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．►变式训练2　成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得∴　解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三、等差数列的判断例3　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．分析　计算bn＋1－bn＝常数，然后求出bn，最后再由an与bn的关系求出an.(1)证明　∵an＝4－(

4、n≥2)，∴an＋1＝4－(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.∴bn＋1－bn＝，n∈N*.∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.(2)解　b1＝＝，d＝.∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.∴＝，∴an＝2＋.总结　判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．►变式训练3　若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明　∵，，是等差数列，∴＋＝.∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2b

5、c＋2b2∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．课堂小结：1．证明数列{an}为等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)⇔{an}为等差数列或an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列．(3)通项法：an＝pn＋q(p、q∈R)⇔{an}是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说{an}是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.课时

6、作业一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为(　　)A．24B．22C．20D．－8答案　A2．已知等差数列{an}中，a2＝－9，＝－，则an为(　　)A．14n＋3B．16n－4C．15n－39D．15n＋8答案　C解析　∵a2＝－9，＝－，∴a3＝－×(－9)＝6，∴d＝a3－a2＝15，∴an＝a2＋(n－2)d＝－9＋(n－2)·15＝15n－39.3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)A．an＝2n－2(n∈N*)

7、B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)答案　D解析　由⇒⇒所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)(－2)，得an＝－2n＋10.4．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于(　　)A．45B．75C．180D．300答案　C解析　方法一　设{an}首项为a1，公差为d，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝a