美式期权定价模型的高阶紧差分方法.pdf

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1、第44卷第12期2014年12月中国海洋大学学报PERIoDICALoF0CEANUNIVERSITY0FCHINA44(12)：123～128Dec．。2014美式期权定价模型的高阶紧差分方法+于国晓，谢树森(中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100)摘要：期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心，美式期权可以提前实施，在实践中具更大的灵活性，一般情况下，美式期权价格没有解析的定价公式，因此研究美式期权定价问题的数值解法具有重要意义。本文通过对美式买人期权Black_Scholes方程进行Fmnt_fixing变量替换，将自由边界问题转化

2、为一个参数非线性的定边界问题。构造求解美式买人期权定价模型的一个3层四阶紧致差分格式，由Fourier方法证明此格式是稳定的。数值实验表明本算法是一个高效收敛的算法。关键词：美式期权定价；自由边界问题；Front-fixing变换；紧致差分格式中图法分类号：0241．8文献标志码：A文章编号：1672—5174(2014)12—123一06期权定价理论的创建是近几十年金融领域中最重要的发展之一。相对于欧式期权，美式期权可以提前实施，拥有更多的获利机会，操作具有更大的灵活性，应用更为广泛，研究美式期权定价模型的数值方法更具有实际意义。关于美式期权定价问题

3、数值方法研究已有很多工作，例如二叉树方法[1]，有限元方法[z]、惩罚函数法[3]、移动边界法[4]等。美式期权定价模型最终归结为一个自由边界问题。本文对支付红利的美式买入期权模型实施Front—fixing变换[5

4、，将自由边界问题转化为一个非线性的定边界问题，构造三层紧致差分格式对此非线性问题进行离散并进行数值实验。与二叉树方法[1]和一般差分方法[5]的数值结果比较证明本文算法是有效的。1美式买入期权定价模型本文考虑由B1ack—Scholes方程推广得到的支付红利的美式买入期权模型。用C(S，￡)表示美式买入期权价格，由文献[2]可知美式买人期

5、权定价模型如下：G+去cr2s2c§+(r—q)scs一心一o，厶0o。当S在￡时刻小于B+(￡)，期权应该持有，而当S在￡时

6、刻大于或等于B’(￡)时，期权应该被执行，即C(S，￡)=S—K。令r一丁一f，B(r)一B+(T—r)，则上述倒向问题变换为如下正向初边值问题：C一去盯2s2氐一(r—q)scs+以一o，O

7、阳=o'Oo。文献[6—7]中说明B(r)是关于r的非负单调增函数，并给出了B(r)的取值范围B(o)≤B(r)≤KX，其中*基金项目：山东省自然科学基金项目(ZR2012AQ003)资助收稿日期：2013一02～20；修订日期：2013一0521作者简介：于国晓(1987一)，女，硕士生。E-mail：guo】(iaoyu23@12

8、6．com124中国海洋大学学报B(0)一Kmax(三，1)，x一号+生≤≯互引理1[2]对于给定的正实数e∈(o，1)，有C(S，￡)≤亭，0≤S≤Ke-7，0≤￡≤T其中：y一丢矿B。+割擘cr4ra5—10cr2T1。g(∥佰K)；r—a1咖一7一i。引理说明若s的范围为o≤S≤Ke-y，买人期权值c趋于o。根据变换了一ln(氅})的逆变换s一警，可知当o≤s≤Ke_y时，有y+ln(警)≤y<∞。又由于B(r)的取值范围B(o)≤B(r)≤Kx，可知y+1n(警)≤y+ln(x)。从而当y的取值范围为y+1n(X)≤y<∞时，勘趋于o，即对于给

9、定的正实数手∈(o，1)，有口(y，r)≤手，y+ln(X)≤y<。。，0≤r≤T。所以可以进