一类具有垂直传染的SIR传染病模型周期解的存在性_闫兰戈.pdf

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1、辽宁大学学报JOURNALOFLIAONINGUNIVERSITY自然科学版NaturalSciencesEdition第39卷第2期2012年Vol．39No．22012一类具有垂直传染的SIR传染病模型周期解的存在性1*2闫兰戈，米晓丽(1．山西省晋中师范高等专科学校数学系，山西榆次030600;2．山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾041004)摘要:讨论了一类具有垂直传染的SIR传染病模型．利用重合度理论中的延拓定理研究了一类具有垂直传染的SIR传染病模型的非平凡周期解的存在性．关键词:传染病模型;周期解;垂直传染;重合度中图分类号

2、:O175．13文献标识码:A文章编号:1000-5846(2012)02-0149-04对于具有种群动力的非自治流行病模型的研病死亡率，γ表示染病者的恢复率，q是垂直传染究，目前人们主要关心种群规模及染病者的生存的概率(p+q=1)，β(t)表示疾病发生率的系和绝灭阈值的研究，对于周期解的存在性以及其数;因为一些疾病的传播与季节有密切的关系，稳定性的研究相对较少．近年来，不少学者开始利所以我们设β(t)＞0为周期为珚ω的周期函数，并用非线性分析中的重合度等理论来研究种群生态且假设移出者R终身免疫．模型周期解的存在性问题．在文献［1］中，作者利在这

3、里(1)式的第3个微分方程与前两个微用这种方法研究了具有种群动力的SIR流行病模分方程无关，因此我们只需要考虑系统型，获得了一类模型正周期存在的充分条件．本文S'=－β(t)SI+bS+pb'I－dS，{(2)在其模型的基础上，考虑了垂直传染，并假设移出I'=β(t)SI+qb'I－d'I－αI－γI．珚ω者单指恢复者的数量不包括死亡者的数量的情况1为以后讨论方便，我们记:β=β(t)dt，珚ω∫0下，也同样获得了正周期解存在的充分条件．LMf=minf(t)，f=maxf(t)1模型的建立t∈［0，珚ω］t∈［0，珚ω］2周期解的存在性先把人群分

4、成三类，即易感者，染病者，被接种免疫的群体，他们的人数分别记为S(t)，I(t)，我们首先介绍重合度理论中的相关理论知R(t)．要求所有的参数和函数变量都非负．现在识．我们考虑如下的SIR模型:设X，Z为赋范向量空间，令L:DomLX→S'=－β(t)SI+bS+pb'I－dS，Z是一个线性映射，且N:X→Z是一个连续映射．{I'=β(t)SI+qb'I－d'I－αI－γI，(1)若dimkerL=cosdimlmL＜+∞并且lmL在Z上R'=γI－dR．是闭的，则我们称映射L为指标是零的Fredholm这里b，b'，d，d'，γ，q，p，α均为

5、正常数，其中映射．如果L是指标为零的Fredholm的映射并且b和b'分别表示非染病者S，R和染病者I出生率存在连续投影映射P:X→X和Q:Z→Z使得:系数;d和d'表示相应的死亡率系数;α表示因lmP=KerL，lmL=KerQ=lm(I－Q)，*作者简介:闫兰戈(1981－)，男，山西平遥人，山西省晋中师范高等专科学校数学教师．收稿日期:2012－03－11150辽宁大学学报自然科学版2012年*那么，L

6、DomL∩kerp(I－P)X→lmL是可逆的，显然，若系统(4)有一个珚ω周期解(u1(t)，*T设其逆映射为Kp．如果Ω是Z中的一个有界

7、开u2(t))，那么**T*集，QN(Ω)是有界的和Kp(I－Q)N:Ω→X是紧(S(t)，I(t))=(exp［u1(t)］，*T的，则v在Ω是L－紧的，由于lmQ与KerL同构，exp［u2(t)］)是系统(2)的正周期解．T2存在同构映射J:lmQ→KerL．．令X=Z={(u1(t)，u2(t))}∈C(R，R)，［2］引理1设Ω是一个有界开集，N:X→Zui(t+珚ω)=ui(t)i=1，2是连续算子，并设在Ω上是L紧的．L:DomLZ和

8、

9、(u1(t)，u2(t))

10、

11、=max{

12、u1(t)

13、}t∈［0，珚ω］→Z是一个指标为零的Fr

14、edholm算子．并满足如+max{

15、u2(t)

16、}t∈［0，珚ω］下条件:这里

17、．

18、表示欧几里德范数，X是Banacha．对任意的λ∈(0，1)，方程Lx=λNx的解空间．令满足xΩ;TL:DomL→X，L(u1(t)，u2(t))=(珔u1(t)，b．对任意的x∈KerL∩Ω，QNx≠0;珔uT2(t))，c．Brouwer度deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0．T12DomL=((u1(t)，u2(t))∈C(R，R)则方程Lx=Nx在DomL∩Ω内至少存在一和N:X→X个解．u1定理1若系统(2)的系数满足:N()=u2(H1):－q

19、b'+d'+γ+α＞0，(H):βL－qb'(m*)－1＞0，－β(t)expu2(t)+b+pb'exp(u2(t)－u