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时间:2020-04-06
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1、两个平面垂直的判定和性质1、定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直。性质:1、凡是直二面角都相等2、两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角记作α⊥β两个平面相交,如果其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,能否得到两个平面垂直?想一想已知:AB┴βAB求证:┴βaaABCD证明:┴┴设垂足为B,过B点在平面内作BE┴CD则∠ABE是二面角的平面角AB┴┴ABCDE∴∠ABE是直角两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。已知:ABα,AB⊥β∪求证:α⊥βα
2、βCDABE例1、设AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上的任意点,求证:面PAC⊥面PBCPABCO例2、空间四边形ABCD中,已知AB=3,AC=AD=2,∠DAC=∠BAC=∠BAD=600,求证:平面BCD⊥平面ADCACBDO例3、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行,那么这两个平面互相垂直αβγa已知:a//α,a⊥β求证:α⊥βb例4、已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证:(1)MN//平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDCPABCDMNQ练习1、已知△ABC中,O为AC中点,∠ABC=900,P为
3、△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证:平面PAC⊥平面ABCPABCO2、PD⊥面ABCD,四边形ABCD为正方形,在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面?PDABC2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。线面垂直面面垂直ABCD在如图长方体AC1中,判断下列结论的正误并说明理由①平面ADD1A1┴平面ABCD②D1A┴AB③D1A┴平面ABCDABCDA1B1C1D1练习:想一想:平面ADD1A1┴平面ABCD,过点A在平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能与平面ABCD垂直呢?3、性质定理(1):如果两个平面垂直,那么在一个平面
4、内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面CDAB面面垂直线面垂直E在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,由α⊥β知,AB⊥BE又AB⊥CD而BE和CD是β内的两条相交直线所以AB⊥β则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角面面垂直的性质定理(2):如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。ACDOObc小结:面面垂直线面垂直关键在一平面内找另一平面的垂线例1、已知:四面体ABCD,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,E为BD中点;求证:(1)平面AEC⊥平面ABD;(2)平面AEC⊥平面BCE。ABCDE例2、已知矩形ABCD中AB=
5、2AD,E为AB的中点,将△AED沿DE折起,(1)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE。(2)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC。ABBCCDDAEEPQ例4.如图:AD为锐角三角形ABC的高,E是AD上一点,且AE=1/2ED,过E作直线MN//BC,交AB,BC于M,N,沿MN将AMN折起到AMN,使AED=60,求证:平面AMN平面ABCABCDEMNA例4.如图:AD为锐角三角形ABC的高,E是AD上一点,且AE=1/2ED,过E作直线MN//BC,交AB,BC于M,N,沿MN将AMN折起到AMN,使AED=60
6、,求证:平面AMN平面ABCABCDEMNA面面垂直线面垂直线线垂直例5.如图,平面平面=a,平面,平面,和又同时平行直线b,求证:(1)a(2)bAmnBC12cd如图,ABCD是正方形,PA平面AC,BEPC,E为垂足。(1)求证:平面BDE平面PBC;(2)当PA=aPB=a时,求二面角E-BD-C的正切值O(5)试问平面PBC是否与平面PDC垂直?(3)若求二面角B-PC-D又如何求?(4)试求PC与BD的距离如图,平面平面=a,平面,平面,和又同时平行直线b,求证:(1)a(2)b
7、AmnBC12cdABCDMNOABCDMNO南师讲义P.1036题1、两个平面互相垂直的定义小结:2、两个平面互相垂直的判定定理3、两个平面互相垂直的性质定理作业:1、书P40习题12、13、142、教测P119例1、例2
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