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《浅谈“旋转变换”法在解题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈“旋转变换”法在解题中的应用“旋转变换”在平面几何解题中有看重要的应用，特别是对有关三角形、四边形等一类问题的求解，这里谈的“旋转变换”指的就是平面图形绕定点的旋转，因此，在一般情况下，其图形的形状和大小均不改变。一、以三角形为基础的图形的旋转变换例1、己知两个全等的直角三角形纸片AABC、ADEF如图(1)放置点B,D重合，点F在BC±,AB与EF交于点G,ZC二ZEFB二90。,ZE二ZABC=30°,AB二DE二4。(1)求证：AEGB是等腰三角形；(2)若纸片DEF不动，问AABC绕点F逆时针旋转最小度
2、时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形，如图(2),求此梯形的高。证明：(1)如图1,在RtADEF中，VZEFB=90°,ZE二30°,・・・ZEDF二60。,又VZABC=30°,・•・ZEBG二ZEBF—ZABC二30。・•・EG=BG•••△EGB是等腰三角形，图1图2解(2)30(度)。（事实上，如图2,VZBFD=30°,ZEDF二60°,・・・ZDHO90°二ZACB。AAC//DE.乂TACHDE,二四边形ACDE是梯形。)设BC与ED交于H,VZDFB为30°旋转角，又VZEDF=60°,AZDH
3、F=90°,VDF=2,・・・FH二DFsinZEDF二2sin60。=在RtAABC中，AB=4,AC=2,又VBF=DF=2,・・・CF二2-2・••梯形的高二2-2+二3-2例2,图中是一副三角板，45。的三角板RtADEF的直角顶点恰好在30°的三角板，RtAABC斜边AB的屮点处，ZA=30°,ZE二45。,ZEDF=ZACB=90°,DE交AC于点G,GM±AB于M。(1)如图③当DF经过点C时，作CN丄于N,求证：AM二DN。(2)如图④，当AEDF经D点旋转，DF//AC时，DF交BC于H,作HN丄
4、AB于N,(1)的结论仍然成立，请你说明理由。证明：(1)TZA二30。,ZACB二90。，D是AB的屮点・・・BC二BD,ZB=60°•••△BCD是等边三角形。又VCN1DB,・•・DN二DBVZEDF=90°,ZBCD是等边三角形/.ZADG=30°,而ZA=30°・•・GA二GDTGM丄AB・•・AM二AD图3又VAD=DBAM=DN(2)解：VDF/7AC/.ZHDB=ZA=30°,ZAGD=ZGDH=90°,AZADG=60°VZB=60°,AD=DB,AAADG^ADBH・・・AG二DH,又TZII
5、DN二ZA,GM丄AB,IIN丄AB,/.AAMG^ADNH图4・・・AM二DN。二、以四边形为基础的图形的旋转变换。例3、己知顺正方形ABCD内有AAEF,ZAEF=45°,E、F分别在BC,CD上任意滑动，如图5,求证：(1)AAEF的高AH为定值，D和B点重合时，因为ZEAF二45°,I；和C重合；E和C重合时，F和D重合，因此，可以猜想AAEF的高AH是正方形的边长。证明：把AABE绕A点按逆时针方向旋转90。,在正方形外的AADG、则AE二AG,ZFAE二ZEAF二45。，所以△AEF^AAGF,故AH=
6、AD(,且EF二FG二BE+FD。例4、四边形AI3CD为任意四边形，以其边四各向四边到外侧作正方形，如图6,设P、Q、R、S为四个正方形的中心，求证：①PR丄QS,②PR二QS证明：以D为旋转中心，把ADF按顺时方向旋转90得AEDC,则AF=EC,AFEC,连接AC,取AC中点M,连接MA、MQ、MR、MP,因为MS〃EC,MR〃AF,所以MS=MR,MS丄MR,同理MP二MQ,MP丄MQ。以M为中心，把MPR按逆时针方向旋转90。得AMSQ,则有PR丄QS,PR=QSo本题稍为复杂一点，要通过两次旋转变换解得
7、。从以上数例可知，以三角形、四边形为基础的图形旋转变换，一般步骤是：（1）确定旋转中心，（2）确定旋转对象（即被变换的图形），（3）确定旋转的方向和角度（常用30。、60°、90°等特殊角）。例5,在AABC中，点D是AB边的中点，E,F分别是AC,BC上的点。证明：ADEF的面积不超过AADE和△BDF的面积之和（如图7）。分析：考虑如何把AADE和ABDF拼成一块图形，然后和的面积比较。证明：以D为对称中心，把AADE旋转180变换成△BDE1,则四边形BFDE1是凸四边形，所以SAADE+SABDF=SABD
8、E+SABDF=S四边形BEDE^SADEI-SADEF（当E和A重合或F和B重合时，上式取等号）。例6,已知M是RtAABC斜边BC的中点，P,Q分别在AB,AC±,且PMQM,求证:PQ2二PB2+QC2（如图8）。分析：能否使PB,QC,PQ构成一个Rt△的三边是解题的关键，考虑到PM丄QM,MA=BC,故以M为中心,把△AMQ旋转180得MQ'・证明
